\mathbf{9}^{\mathbf{a}} Questão. Verifique se os vetores abaixo são linearmente independentes em \mathbb{R}^{3} :
v_{1}=(1,2,1), \quad v_{2}=(0,1,3), \quad v_{3}=(1,3,4)

Passo 1

O enunciado pede que verifiquemos se os vetores abaixo são linearmente independentes em \mathbb{R}^{3}:
v_{1}=(1,2,1), \quad v_{2}=(0,1,3), \quad v_{3}=(1,3,4).
Pergunta explícita: “são esses vetores linearmente independentes ou não?”.
Informações dadas: os três vetores \;v_{1},v_{2},v_{3}\; em \mathbb{R}^{3} conforme escritos acima.

Passo 2

O que significa testar independência linear (explicação didática): devemos ver se existe uma combinação linear não-trivial que dê o vetor nulo. Mais formalmente, tomamos escalares \;c_{1},c_{2},c_{3}\in\mathbb{R}\; e escrevemos
c_{1}v_{1}+c_{2}v_{2}+c_{3}v_{3}=(0,0,0).
Se a única solução para \;c_{1},c_{2},c_{3}\; for \;c_{1}=c_{2}=c_{3}=0\;, então os vetores são linearmente independentes. Se existir alguma solução com pelo menos um coeficiente diferente de zero (solução não-trivial), então são linearmente dependentes. Aqui \;c_{1},c_{2},c_{3}\; são simplesmente os coeficientes da combinação linear — pense neles como incógnitas que queremos resolver.

Passo 3

Escrevendo a combinação componente a componente obtemos o sistema de equações. Substituindo os vetores:
c_{1}(1,2,1)+c_{2}(0,1,3)+c_{3}(1,3,4)=(0,0,0).
Isto gera as três equações (uma por componente):
\begin{cases} c_{1}+0\cdot c_{2}+c_{3}=0,\\[4pt] 2c_{1}+c_{2}+3c_{3}=0,\\[4pt] c_{1}+3c_{2}+4c_{3}=0. \end{cases}
Simplificando a primeira equação temos
c_{1}+c_{3}=0.]

Passo 4

Resolvendo passo a passo o sistema usando substituição (método simples e direto):
Da primeira equação \;c_{1}+c_{3}=0\; segue
c_{1}=-c_{3}.
Substituímos \;c_{1}=-c_{3}\; na segunda equação \;2c_{1}+c_{2}+3c_{3}=0\;:
2(-c_{3})+c_{2}+3c_{3}=0.
Calcule os termos com c_{3}:
-2c_{3}+c_{2}+3c_{3}=0 \quad\Rightarrow\quad c_{2}+c_{3}=0.
Logo
c_{2}=-c_{3}.
Agora substituímos c_{1}=-c_{3} e c_{2}=-c_{3} na terceira equação \;c_{1}+3c_{2}+4c_{3}=0\;:
(-c_{3})+3(-c_{3})+4c_{3}=0.
Somando os termos:
- c_{3}-3c_{3}+4c_{3}=0 \quad\Rightarrow\quad 0=0.
A terceira equação é satisfeita automaticamente (é dependente das outras). Conclusão dessa etapa: as soluções são parametrizadas por c_{3}. Ou seja,
c_{1}=-c_{3},\quad c_{2}=-c_{3},\quad c_{3} \text{ livre}.
Como c_{3} pode ser escolhido diferente de zero, existem soluções não-triviais.

Passo 5

Construímos explicitamente uma solução não-trivial escolhendo, por exemplo, \;c_{3}=1\;. Então
c_{1}=-1,\quad c_{2}=-1,\quad c_{3}=1.
Verificação direta (mostrando a conta componente a componente):
-1\cdot v_{1} + (-1)\cdot v_{2} + 1\cdot v_{3} = -v_{1}-v_{2}+v_{3}.
Calcule cada componente:
-v_{1}-v_{2}+v_{3} = -(1,2,1)-(0,1,3)+(1,3,4).
Somando coordenada a coordenada:
( -1-0+1,\; -2-1+3,\; -1-3+4 ) = (0,0,0).
Portanto a combinação não-trivial realmente produz o vetor nulo. Isso já prova dependência linear.

Passo 6

Observação simples e útil para a prova: da relação encontrada segue uma expressão muito direta entre os vetores. Rearranjando -v_{1}-v_{2}+v_{3}=(0,0,0) obtemos
v_{3}=v_{1}+v_{2}.
Isto é ainda mais intuitivo: v_{3} é exatamente a soma de v_{1} com v_{2} (veja que (1,2,1)+(0,1,3)=(1,3,4), que é v_{3}). Sempre que um vetor do conjunto pode ser escrito como combinação linear dos outros, o conjunto é linearmente dependente.

Resposta

Os vetores são linearmente dependentes, pois v_{3}=v_{1}+v_{2}.

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