Pergunta explícita: “são esses vetores linearmente independentes ou não?”.
Informações dadas: os três vetores \;v_{1},v_{2},v_{3}\; em \mathbb{R}^{3} conforme escritos acima.
Passo 2
O que significa testar independência linear (explicação didática): devemos ver se existe uma combinação linear não-trivial que dê o vetor nulo. Mais formalmente, tomamos escalares \;c_{1},c_{2},c_{3}\in\mathbb{R}\; e escrevemos
c_{1}v_{1}+c_{2}v_{2}+c_{3}v_{3}=(0,0,0).
Se a única solução para \;c_{1},c_{2},c_{3}\; for \;c_{1}=c_{2}=c_{3}=0\;, então os vetores são linearmente independentes. Se existir alguma solução com pelo menos um coeficiente diferente de zero (solução não-trivial), então são linearmente dependentes. Aqui \;c_{1},c_{2},c_{3}\; são simplesmente os coeficientes da combinação linear — pense neles como incógnitas que queremos resolver.
Passo 3
Escrevendo a combinação componente a componente obtemos o sistema de equações. Substituindo os vetores:
Portanto a combinação não-trivial realmente produz o vetor nulo. Isso já prova dependência linear.
Passo 6
Observação simples e útil para a prova: da relação encontrada segue uma expressão muito direta entre os vetores. Rearranjando -v_{1}-v_{2}+v_{3}=(0,0,0) obtemos
v_{3}=v_{1}+v_{2}.
Isto é ainda mais intuitivo: v_{3} é exatamente a soma de v_{1} com v_{2} (veja que (1,2,1)+(0,1,3)=(1,3,4), que é v_{3}). Sempre que um vetor do conjunto pode ser escrito como combinação linear dos outros, o conjunto é linearmente dependente.
Resposta
Os vetores são linearmente dependentes, pois v_{3}=v_{1}+v_{2}.