7{ }^{\text {a }} Questão. Considere o subconjunto
W=\left\{p(x) \in \mathbb{P}_{4} \mid p(1)=p(-1)\right\} .
Mostre que W é um subespaço e determine sua dimensão.

Passo 1

O enunciado dá o subconjunto
W=\left\{p(x)\in\mathbb{P}_{4}\mid p(1)=p(-1)\right\}.
O que nos pedem:
  • Mostrar que W é um subespaço de \mathbb{P}_{4}.
  • Determinar a dimensão de W (e, de preferência, apresentar uma base).
Informações relevantes do enunciado:
  • \mathbb{P}_{4} é o espaço vetorial das funções polinomiais com grau menor ou igual a 4.
  • A condição que define W é a igualdade dos valores do polinômio em x=1 e em x=-1: p(1)=p(-1).
  • Não há outras restrições.

Passo 2

Primeiro mostro que W não é vazio, leve um exemplo simples: o polinômio nulo p(x)=0 pertence a \mathbb{P}_{4} e satisfaz p(1)=0=p(-1). Logo 0\in W. Este é um passo padrão para subespaços: sempre verificamos que o zero está no conjunto.

Passo 3

Relembre a definição prática de subespaço: um subconjunto W de um espaço vetorial é subespaço quando (i) contém o vetor zero, (ii) é fechado sob soma e (iii) é fechado sob multiplicação escalar. Já verificamos (i). Agora a soma.
Sejam p,q\in W. Por definição temos p(1)=p(-1) e q(1)=q(-1). Considere o polinômio p+q. Avaliando em 1 e em -1:
(p+q)(1)=p(1)+q(1),
(p+q)(-1)=p(-1)+q(-1).
Como p(1)=p(-1) e q(1)=q(-1), segue que
(p+q)(1)=p(1)+q(1)=p(-1)+q(-1)=(p+q)(-1).
Portanto p+q também satisfaz a condição e p+q\in W. Assim W é fechado sob adição.

Passo 4

Agora a multiplicação por escalar. Seja c\in\mathbb{R} (ou no corpo de escalares) e p\in W. Temos
(cp)(1)=c\cdot p(1), \qquad (cp)(-1)=c\cdot p(-1).
Como p(1)=p(-1), então (cp)(1)= (cp)(-1). Logo cp\in W. Assim W é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 5

Concluímos, pelos itens anteriores, que W contém o zero e é fechado sob soma e multiplicação escalar; portanto W é subespaço de \mathbb{P}_{4}.
Agora vamos determinar a dimensão. Escreva um polinômio genérico de grau \le 4:
p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+a_{4}x^{4},
onde os a_{i} são escalares reais. A condição p(1)=p(-1) implica:
p(1)=a_{0}+a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4},
p(-1)=a_{0}-a_{1}+a_{2}-a_{3}+a_{4}.
Igualando p(1)=p(-1) e subtraindo membro a membro:
0=p(1)-p(-1)=\bigl(a_{0}+a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}\bigr)-\bigl(a_{0}-a_{1}+a_{2}-a_{3}+a_{4}\bigr).
Calcule o lado direito:
p(1)-p(-1)=2a_{1}+2a_{3}=2(a_{1}+a_{3}).
Portanto a condição é
2(a_{1}+a_{3})=0 \quad\Longrightarrow\quad a_{1}+a_{3}=0.
Dessa igualdade segue
a_{3}=-a_{1}.

Passo 6

Com a_{3}=-a_{1} os coeficientes livres são a_{0},a_{1},a_{2},a_{4}. Reescrevemos p(x) em função desses:
p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}-a_{1}x^{3}+a_{4}x^{4}.
Agrupando termos por parâmetros:
p(x)=a_{0}\cdot 1 + a_{1}\cdot (x-x^{3}) + a_{2}\cdot x^{2} + a_{4}\cdot x^{4}.
Isto mostra que todo p\in W é combinação linear dos quatro polinômios
1,\quad x-x^{3},\quad x^{2},\quad x^{4}.
Logo esses quatro geram W, ou seja,
W=\operatorname{span}\{\,1,\;x-x^{3},\;x^{2},\;x^{4}\,\}.

Passo 7

Para concluir que esses quatro formam uma base devemos verificar que são linearmente independentes. Suponha que existam escalares c_{1},c_{2},c_{3},c_{4} tais que
c_{1}\cdot 1 + c_{2}\cdot (x-x^{3}) + c_{3}\cdot x^{2} + c_{4}\cdot x^{4}\equiv 0
(igualdade do polinômio nulo, válida para todo x). Igualando coeficientes do polinômio à esquerda com os do polinômio nulo obtemos o sistema:
  • coeficiente de x^{4}: c_{4}=0,
  • coeficiente de x^{3}: -c_{2}=0 c_{2}=0,
  • coeficiente de x^{2}: c_{3}=0,
  • coeficiente de x^{1}: c_{2}=0 (já obtido),
  • coeficiente de x^{0}: c_{1}=0.
Portanto c_{1}=c_{2}=c_{3}=c_{4}=0, ou seja, os quatro polinômios são linearmente independentes. Como são 4 vetores linearmente independentes que geram W, eles formam uma base de W.

Passo 8

Concluímos que \dim W=4. (Outra intuição rápida: \mathbb{P}_{4} tem dimensão 5 e a condição linear p(1)=p(-1) impõe uma restrição linear não-trivial, reduzindo a dimensão em uma unidade.)

Resposta

W é um subespaço de \mathbb{P}_{4}.
\dim W=4. Uma base é \{\,1,\;x-x^{3},\;x^{2},\;x^{4}\,\}.

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