Questão. Considere o subconjunto
Mostre que
é um subespaço e determine sua dimensão.
Passo 1
O enunciado dá o subconjunto
O que nos pedem:
- Mostrar que
é um subespaço de . - Determinar a dimensão de
(e, de preferência, apresentar uma base).
Informações relevantes do enunciado:
-
é o espaço vetorial das funções polinomiais com grau menor ou igual a . - A condição que define
é a igualdade dos valores do polinômio em e em : . - Não há outras restrições.
Passo 2
Primeiro mostro que
não é vazio, leve um exemplo simples: o polinômio nulo
pertence a
e satisfaz
. Logo
. Este é um passo padrão para subespaços: sempre verificamos que o zero está no conjunto.
Passo 3
Relembre a definição prática de subespaço: um subconjunto
de um espaço vetorial é subespaço quando (i) contém o vetor zero, (ii) é fechado sob soma e (iii) é fechado sob multiplicação escalar. Já verificamos (i). Agora a soma.
Sejam
. Por definição temos
e
. Considere o polinômio
. Avaliando em
e em
:
Como
e
, segue que
Portanto
também satisfaz a condição e
. Assim
é fechado sob adição.
Passo 4
Agora a multiplicação por escalar. Seja
(ou no corpo de escalares) e
. Temos
Como
, então
. Logo
. Assim
é fechado sob multiplicação escalar.
Passo 5
Concluímos, pelos itens anteriores, que
contém o zero e é fechado sob soma e multiplicação escalar; portanto
é subespaço de
.
Agora vamos determinar a dimensão. Escreva um polinômio genérico de grau
:
onde os
são escalares reais. A condição
implica:
Igualando
e subtraindo membro a membro:
Calcule o lado direito:
Portanto a condição é
Dessa igualdade segue
Passo 6
Com
os coeficientes livres são
. Reescrevemos
em função desses:
Agrupando termos por parâmetros:
Isto mostra que todo
é combinação linear dos quatro polinômios
Logo esses quatro geram
, ou seja,
Passo 7
Para concluir que esses quatro formam uma base devemos verificar que são linearmente independentes. Suponha que existam escalares
tais que
(igualdade do polinômio nulo, válida para todo
). Igualando coeficientes do polinômio à esquerda com os do polinômio nulo obtemos o sistema:
- coeficiente de
: , - coeficiente de
: ⇒ , - coeficiente de
: , - coeficiente de
: (já obtido), - coeficiente de
: .
Portanto
, ou seja, os quatro polinômios são linearmente independentes. Como são 4 vetores linearmente independentes que geram
, eles formam uma base de
.
Passo 8
Concluímos que
. (Outra intuição rápida:
tem dimensão
e a condição linear
impõe uma restrição linear não-trivial, reduzindo a dimensão em uma unidade.)