A exploração da relação entre a inversão de matriz, determinantes e dependência linear permite obter informações importantes sobre muitos objetos. Use seus conhecimentos sobre o assunto para completar as lacunas na frase a seguir: “Se A for uma matriz (n x_{__}), as (\qquad) de (A) serão linearmente (\qquad) se e somente se \operatorname{det}(A) \neq 0^{”}.
Escolha uma opção:
a. m, colunas, independentes
b. n, colunas, independentes
c. n, colunas, dependentes
d. n, linhas, dependentes
e. m, linhas, dependentes

Passo 1

O enunciado pede para completar a frase
“Se A for uma matriz (n \times \,\,\_\_), as \quad\_\_\_\_ de A serão linearmente \quad\_\_\_\_ se e somente se \det(A)\neq0.”
O conteúdo aqui é: invertibilidade de matrizes, determinante e independência linear.

Passo 2

Para que \det(A) exista e a condição “ \det(A)\neq0” indique invertibilidade, A precisa ser quadrada. Logo, a forma de A é
(n \times n).

Passo 3

Um fato clássico de álgebra linear é que uma matriz quadrada é invertível se e somente se suas colunas são linearmente independentes. Portanto, os dois últimos espaços são
“colunas” e “independentes”.

Passo 4

Com isso, a frase completa fica:
“Se A for uma matriz (n\times n), as colunas de A serão linearmente independentes se e somente se \det(A)\neq0.”
Isto corresponde à alternativa (b).

Resposta

(b)

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