A exploração da relação entre a inversão de matriz, determinantes e dependência linear permite obter informações importantes sobre muitos objetos. Use seus conhecimentos sobre o assunto para completar as lacunas na frase a seguir: “Se A for uma matriz (n x_{__}), as (\qquad) de (A) serão linearmente (\qquad) se e somente se \operatorname{det}(A) \neq 0^{”}.
Escolha uma opção:
a. m, colunas, independentes
b. n, colunas, independentes
c. n, colunas, dependentes
d. n, linhas, dependentes
e. m, linhas, dependentes
a. m, colunas, independentes
b. n, colunas, independentes
c. n, colunas, dependentes
d. n, linhas, dependentes
e. m, linhas, dependentes
Passo 1
O enunciado pede para completar a frase
“Se for uma matriz
, as
de
serão linearmente
se e somente se
.”
O conteúdo aqui é: invertibilidade de matrizes, determinante e independência linear.
“Se
O conteúdo aqui é: invertibilidade de matrizes, determinante e independência linear.
Passo 2
Para que
exista e a condição “
” indique invertibilidade,
precisa ser quadrada. Logo, a forma de
é
Passo 3
Um fato clássico de álgebra linear é que uma matriz quadrada é invertível se e somente se suas colunas são linearmente independentes. Portanto, os dois últimos espaços são
“colunas” e “independentes”.
“colunas” e “independentes”.
Passo 4
Com isso, a frase completa fica:
“Se for uma matriz
, as colunas de
serão linearmente independentes se e somente se
.”
Isto corresponde à alternativa (b).
“Se
Isto corresponde à alternativa (b).
Resposta
(b)