3- Uma urna contém 3 bolas brancas e 2 amarelas, uma segunda urna contém 4 bolas brancas e 2 amarelas e uma terceira urna contém 2 brancas e três amarelas. Escolhe-se, ao acaso, uma urna e dela retira-se, também ao acaso uma bola. Qual a probabilidade de que seja amarela?

Passo 1

O enunciado diz que temos três urnas com composições diferentes de bolas brancas e amarelas. Escolhe-se uma urna ao acaso e, em seguida, retira-se uma bola ao acaso dessa urna. Queremos a probabilidade de a bola ser amarela. O conteúdo usado será o Teorema da Probabilidade Total.

Passo 2

Definimos os eventos \,E_1=“escolher a urna 1”, \,E_2=“escolher a urna 2” e \,E_3=“escolher a urna 3”.
Como a escolha da urna é ao acaso e há três urnas,
P(E_1)=P(E_2)=P(E_3)=\frac{1}{3}.

Passo 3

Agora calculamos a probabilidade de retirar uma bola amarela em cada urna:
Para a urna 1 há 3 bolas brancas e 2 amarelas (total 5), então
P(A\mid E_1)=\frac{2}{5}.
Para a urna 2 há 4 bolas brancas e 2 amarelas (total 6), então
P(A\mid E_2)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}.
Para a urna 3 há 2 bolas brancas e 3 amarelas (total 5), então
P(A\mid E_3)=\frac{3}{5}.

Passo 4

Pelo Teorema da Probabilidade Total, se A é o evento “bola amarela”, então
P(A)=P(E_1)\,P(A\mid E_1)+P(E_2)\,P(A\mid E_2)+P(E_3)\,P(A\mid E_3).

Passo 5

Substituindo os valores encontrados:
P(A) =\frac{1}{3}\Bigl(\frac{2}{5}+\frac{1}{3}+\frac{3}{5}\Bigr) =\frac{1}{3}\cdot\frac{20}{15} =\frac{20}{45} =\frac{4}{9}.

Resposta

A probabilidade de a bola retirada ser amarela é \displaystyle \frac{4}{9}.

Exercícios relacionados