(\mathbf{5 , 0}) Em um sistema trifásico, um gerador síncrono supre uma carga através de um sistema de transmissão. Os valores de placa do gerador são: 70 \mathrm{kVA}, 380 \mathrm{~V}, reatância de 0,5 \Omega /fase, fator de potência 0,8 atrasado, 60 \mathrm{~Hz}, 1800 \mathrm{rpm}. A impedância da linha de transmissão é 0,1+\mathrm{j} 0,4 \Omega / fase, e as características da carga são: 25 \mathrm{~kW}, 360 \mathrm{~V}, fator de potência 0,9 adiantado. Considere que a carga esteja sendo suprida em seus valores nominais (o gerador é sempre ajustado para manter 360 V no terminal da carga) e utilize o modelo de potência constante. Adote a sequência de fases positiva e o fasor tensão de linha entre as fases a e b da carga como referência angular.
(a) determine a condição de operação do gerador síncrono (tensão e corrente de linha, potências ativa e reativa, e fator de potência nos terminais de saída do gerador).
(b) a compensação reativa necessária para tornar unitário o fator de potência da carga (em termos de potência reativa e da impedância de uma conexão \Delta ).
(c) a magnitude da corrente de linha da carga compensada e a redução relativa (em %) das potências ativa e reativa geradas.
(d) a tensão interna do gerador ( \mathrm{E}_{\mathrm{i}} ) após a correção e a alteração relativa da magnitude de \mathrm{E}_{\mathrm{i}} (em %) em relação à situação sem compensação.

Passo 1

O enunciado descreve um sistema trifásico em que um gerador síncrono (placa 70 \mathrm{kVA}, 380 \mathrm{V} linha-linha, \,X_s=0{,}5 \Omega/fase, \mathrm{pf}=0{,}8 atrasado) alimenta uma carga de 25 \mathrm{kW}, 360 \mathrm{V} linha-linha, \mathrm{pf}=0{,}9 adiantado, através de uma linha com impedância por fase Z_\ell=0{,}1 + j0{,}4 \Omega. A carga está em condição nominal e o gerador ajusta sua tensão para manter nos terminais da carga 360 \mathrm{V}. Vamos usar o modelo de potência constante e sequência positiva, tomando como referência o fasor da tensão de linha entre fases a e b nos terminais da carga em 0^\circ.

Passo 2

Cálculo da corrente de linha e potência da carga
A carga trifásica tem
P_C = 25\,000\;\mathrm{W},\quad \mathrm{pf}_C=0{,}9\\ (\text{adiantado})\implies \phi_C = \operatorname{arccos}(0{,}9)=25{,}84^\circ,
então
Q_C = P_C\tan(-\,\phi_C) = 25\,000\tan(-25{,}84^\circ) \approx -12\,070\;\mathrm{VAr}.
A tensão de fase na carga é
V_{C,\varphi} = \frac{360}{\sqrt3}\approx207{,}85\;\mathrm{V}\angle0^\circ.
O conjugado da corrente de fase é
I_{C,\varphi}^*=\frac{P_C/3 + j\,Q_C/3}{V_{C,\varphi}} =\frac{25\,000/3 - j\,12\,070/3}{207{,}85}\approx 24{,}89 - j\,12{,}07\;\mathrm{A},
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I_{C,\varphi}=44{,}56\;\mathrm{A}\angle+25{,}84^\circ, \quad I_{C,\text{linha}}=44{,}56\;\mathrm{A}\quad(\text{mesmo valor em Y}).

Passo 3

Potências e tensão nos terminais do gerador
Queda de tensão por fase na linha:
\Delta V_\ell = Z_\ell\,I_{C,\varphi} = (0{,}1+j0{,}4)\times44{,}56\angle25{,}84^\circ \approx18{,}36\angle101{,}8^\circ\;\mathrm{V}.
Tensão de fase no gerador:
V_{G,\varphi}=V_{C,\varphi}+\Delta V_\ell =207{,}85\angle0^\circ + 18{,}36\angle101{,}8^\circ \approx204{,}10 + j\,17{,}97\;\mathrm{V}
|V_{G,\varphi}|\approx204{,}89\;\mathrm{V},\quad V_{G,\text{LL}}=\sqrt3\,|V_{G,\varphi}|\approx354{,}8\;\mathrm{V}.
Perdas na linha (trifásico):
P_{\ell}=3\,I_{C,\varphi}^2\cdot0{,}1\approx3\,(44{,}56)^2\cdot0{,}1\approx5{,}958\;\mathrm{W},
Q_{\ell}=3\,I_{C,\varphi}^2\cdot0{,}4\approx3\,(44{,}56)^2\cdot0{,}4\approx23{,}832\;\mathrm{VAr}.
Potências geradas pelo gerador:
P_G=P_C+P_{\ell}\approx25{,}000+5{,}958=30{,}958\;\mathrm{W}, \quad Q_G=Q_C+Q_{\ell}\approx -12{,}070+23{,}832=11{,}762\;\mathrm{VAr}.
Fator de potência do gerador:
\mathrm{pf}_G=\frac{P_G}{\sqrt{P_G^2+Q_G^2}} \approx\frac{30{,}958}{\sqrt{30{,}958^2+11{,}762^2}}\approx0{,}93\;\text{atrasado}.

Passo 4

(a) Condição de operação do gerador síncrono
I _{\text{linha}}= 44{,}56 \mathrm{A} 25{,}84^\circ
Tensão de linha nos terminais do gerador V_{G,\text{LL}}\approx354{,}8 \mathrm{V} 5{,}03^\circ
Potência ativa P_G\approx30{,}958 \mathrm{W}
Potência reativa Q_G\approx11{,}762 \mathrm{VAr}
Fator de potência \approx0{,}93 atrasado

Passo 5

(b) Compensação reativa para \mathrm{pf}=1 na carga
É preciso fornecer \Delta Q = +|Q_C| = 12{,}070 \mathrm{VAr}. Num banco em \Delta a 360 \mathrm{V} por fase de ramo:
Q_\Delta =3\frac{V_{\text{ramo}}^2}{X_C}\;\Longrightarrow\; X_C = 3\frac{360^2}{12\,070}\approx38{,}7\;\Omega.
Capacitância por fase em \Delta a 60 \mathrm{Hz}:
C=\frac{1}{2\pi f\,X_C}=\frac{1}{2\pi\cdot60\cdot38{,}7}\approx68{,}6\;\mu\mathrm{F}.

Passo 6

(c) Corrente com compensação e redução das potências
Com carga corrigida \mathrm{pf}=1, Q_C'=0:
I_{C,\varphi}'=\frac{P_C/3}{V_{C,\varphi}} =\frac{25\,000/3}{207{,}85}\approx 23{,}07\;\mathrm{A}\quad\Longrightarrow\; I'_{\text{linha}}=40{,}03\;\mathrm{A}.
Redução percentual da corrente:
\frac{44{,}56-40{,}03}{44{,}56}\times100\%\approx10{,}1\%.
Perdas linha novas:
P_{\ell}'=3\,(40{,}03)^2\cdot0{,}1\approx4{,}807\;\mathrm{W},\quad Q_{\ell}'=3\,(40{,}03)^2\cdot0{,}4\approx19{,}227\;\mathrm{VAr}.
Potências geradas novas:
P_G'=25\,000+4{,}807=29\,807\;\mathrm{W},\quad Q_G'=0+19{,}227=19{,}227\;\mathrm{VAr}.
Redução relativa:
\Delta P_G\%=\frac{30{,}958-29{,}807}{30{,}958}\times100\%\approx3{,}7\%,\quad \Delta Q_G\%=\frac{11{,}762-19{,}227}{11{,}762}\times100\%\approx-63,4\%
(nota: sinal negativo indica redução de geração de reativa).

Passo 7

(d) Tensão interna E_i antes e depois da correção
Sem compensação, por fase:
E_{i\varphi}=V_{G,\varphi}+jX_s\,I_{C,\varphi} \approx(204{,}10+j17{,}97)+j\,0{,}5\,(44{,}56\angle25{,}84^\circ)
j\,0{,}5\cdot44{,}56\angle25{,}84^\circ =22{,}28\angle115{,}84^\circ\approx(-9{,}42+j20{,}20)
E_{i\varphi}\approx(204{,}10-9{,}42)+j(17{,}97+20{,}20)=194{,}68 + j38{,}17
|E_{i\varphi}|\approx199{,}8\;\mathrm{V}, \quad E_{i,\text{LL}}=\sqrt3\,199{,}8\approx346{,}2\;\mathrm{V}.
Com compensação, I_{C,\varphi}'=40{,}03\angle0^\circ:
E_{i\varphi}'=(212{,}06+j15{,}98)+j\,0{,}5\cdot40{,}03\angle0^\circ =212{,}06+j(15{,}98+20{,}02)=212{,}06 + j35{,}99
|E_{i\varphi}'|\approx215{,}0\;\mathrm{V}, \quad E_{i,\text{LL}}'=\sqrt3\,215{,}0\approx372{,}5\;\mathrm{V}.
Variação relativa de E_i:
\frac{372{,}5-346{,}2}{346{,}2}\times100\%\approx7{,}6\%\uparrow.

Resposta

(a) I_{\text{linha}}=44{,}56 \mathrm{A}\angle25{,}84^\circ, V_{G,\text{LL}}\approx354{,}8 \mathrm{V}\angle5{,}03^\circ, \;P_G\approx30{,}958 \mathrm{W}, \;Q_G\approx11{,}762 \mathrm{VAr}, \mathrm{pf}_G\approx0{,}93 atrasado.
(b) Reativo necessário \Delta Q=12{,}070 \mathrm{VAr}, X_C\approx38{,}7 \Omega em \Delta, C\approx68{,}6 \mu\mathrm{F}.
(c) I'_{\text{linha}}=40{,}03 \mathrm{A}, redução de corrente \approx10{,}1\%; P_G'\approx29{,}807 \mathrm{W} -3{,}7\%, Q_G'\approx19{,}227 \mathrm{VAr} -63{,}4\%.
(d) |E_i| sem correção \approx346{,}2 \mathrm{V} LL, com correção \approx372{,}5 \mathrm{V} LL, aumento \approx7{,}6\%.

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