(\mathbf{0 , 2 5}) A tabela a seguir mostra a pressão de vapor do nitrogênio em diversas temperaturas diferentes. Utilize os dados para determinar o calor de vaporização e o ponto de ebulição normal do nitrogênio.
Temperatura (K) Pressão de Vapor (torr)
65 130,5
70 289,5
75 570,8
80 1028
85 1718

Passo 1

O enunciado dá uma tabela com temperaturas e pressões de vapor do nitrogênio e pede duas coisas:
  • Determinar o calor de vaporização ( \Delta H_{vap}) do nitrogênio.
  • Determinar o ponto de ebulição normal do nitrogênio (temperatura em que a pressão de vapor é 760 torr).
Dados fornecidos (retirados da tabela do enunciado):
\begin{array}{c|c} \text{Temperatura (K)} & \text{Pressão de vapor (torr)}\\hline 65 & 130{,}5\\\\ 70 & 289{,}5\\\\ 75 & 570{,}8\\\\ 80 & 1028\\\\ 85 & 1718 \end{array}ã

Passo 2

Modelo que vamos usar (forma linearizada da equação de Clausius–Clapeyron):
\ln P = -\frac{\Delta H_{vap}}{R}\cdot\frac{1}{T} + C,
onde
  • P é a pressão de vapor (qualquer unidade consistente — aqui usamos torr),
  • T é a temperatura em kelvin,
  • \Delta H_{vap} é o calor molar de vaporização (o que queremos),
  • R é a constante universal dos gases, R=8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}},
  • C é uma constante de integração (intercepto).
Explicação rápida: essa equação diz que se plotarmos \ln P em função de 1/T, obtemos uma reta cuja inclinação é -\Delta H_{vap}/R. Portanto podemos obter \Delta H_{vap} encontrando a inclinação dessa reta por ajuste linear.

Passo 3

Transformamos os dados calculando x_i = 1/T_i e y_i = \ln P_i. (As pressões vêm da tabela.)
Cálculos (apresento com 6 algarismos significativos razoáveis):
\begin{array}{c|c|c} T\\ (\mathrm{K}) & x=1/T\\ (\mathrm{K^{-1}}) & y=\ln P\\hline 65 & 0{,}0153846 & 4{,}8730\\\\ 70 & 0{,}0142857 & 5{,}6670\\\\ 75 & 0{,}0133333 & 6{,}3420\\\\ 80 & 0{,}0125000 & 6{,}9370\\\\ 85 & 0{,}0117647 & 7{,}4510 \end{array}
Observação: calculei \ln P usando P em torr (isto só altera o valor do intercepto C, não a inclinação).

Passo 4

Fórmulas do ajuste linear (mínimos quadrados) para a reta y = a x + b:
a=\frac{N\sum x_i y_i - \left(\sum x_i\right)\left(\sum y_i\right)}{N\sum x_i^2 - \left(\sum x_i\right)^2}, \qquad b=\frac{\sum y_i - a\sum x_i}{N},
onde N=5 (número de pontos). Aqui a corresponde à inclinação, que vale a=-\dfrac{\Delta H_{vap}}{R}.

Passo 5

Calculo das somas necessárias (valores numéricos obtidos a partir da tabela transformada do Passo 3):
\begin{aligned} \sum x_i &= 0{,}0672683689,\\\ \sum y_i &= 31{,}2700,\\\ \sum x_i^2 &= 0{,}0009131228,\\\ \sum x_i y_i &= 0{,}41485769. \end{aligned}
Agora a inclinação a:
\begin{aligned} \text{num} &= N\sum x_i y_i - (\sum x_i)(\sum y_i) =5\cdot 0{,}41485769 - 0{,}0672683689\cdot 31{,}2700\\\ &=2{,}07428845 - 2{,}10349041 =-0{,}02920196,\\[6pt] \text{den} &= N\sum x_i^2 - (\sum x_i)^2 =5\cdot 0{,}0009131228 - (0{,}0672683689)^2\\\ &=0{,}004565614 - 0{,}004526~\approx 0{,}000039614. \end{aligned}
Logo
a=\frac{\text{num}}{\text{den}}\approx -737{,}14.
Interpretação: a=-\dfrac{\Delta H_{vap}}{R} \Rightarrow -737{,}14 = -\dfrac{\Delta H_{vap}}{R}.]

Passo 6

Calculando o calor de vaporização:
\Delta H_{vap} = -a\,R = 737{,}14\cdot 8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}} \approx 6{,}130\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}.
Convertendo para kJ mol ^{-1}:
\Delta H_{vap} \approx 6{,}13\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}.

Passo 7

Agora calculamos o intercepto b (usado para encontrar a temperatura em que P=760 torr):
b=\frac{\sum y_i - a\sum x_i}{N}=\frac{31{,}2700 - (-737{,}14)\cdot 0{,}0672683689}{5}\approx 16{,}1706.
Para o ponto de ebulição normal tomamos P=760 torr e \ln(760):
\ln(760)\approx 6{,}63331.
Da reta \ln P = a(1/T)+b temos
\frac{1}{T_b}=\frac{\ln(760)-b}{a}=\frac{6{,}63331-16{,}1706}{-737{,}14}\approx 0{,}012944\\ \mathrm{K^{-1}}.
Portanto
T_b=\frac{1}{0{,}012944}\approx 77{,}3\\ \mathrm{K}.

Passo 8

Resumo dos resultados obtidos a partir do ajuste linear dos dados experimentais: \Delta H_{vap} obtido pela inclinação e T_b encontrado impondo P=760 torr na equação linearizada. Os valores estão próximos dos valores de referência conhecidos para o nitrogênio, então o método e os cálculos parecem consistentes.

Resposta

\Delta H_{vap} \approx 6{,}13\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}
T_{bp}\\ (P=760\\ \text{torr}) \approx 77{,}3\\ \mathrm{K}

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