2a QUESTÃO. Uma amostra de argila mole com espessura de 20,0 \mathrm{~mm} atingiu 45 \% do seu adensamento em 8 minutos, qual o tempo para esta amostra atingir 70 \%, sabendo-se que ela é drenada em ambas as faces?

Passo 1

O enunciado dá uma amostra de argila mole com espessura 20{,}0\\ \mathrm{mm} que atinge 45\% do adensamento em 8\\ \mathrm{min}. Pede-se o tempo necessário para que a mesma amostra atinja 70\% do adensamento, sabendo-se que há drenagem em ambas as faces.\
Informações relevantes:
H = 20{,}0\\ \mathrm{mm},\qquad U_1=45\%=0{,}45,\qquad t_1=8\\ \mathrm{min},\qquad U_2=70\%=0{,}70,
drenagem em ambas as faces (isto afeta o comprimento de escoamento).

Passo 2

Conceitos essenciais (explicação didática e sem pular etapas). Para adensamento unidimensional (Teoria de Terzaghi):
  • O grau de adensamento U (fração do total já consolidado) está relacionado com o fator de tempo adimensional T_v por uma solução de série (série de Fourier). A relação exata (para drenagem em ambas as faces, com H definido como comprimento de escoamento) é
U = 1 - \sum_{m=0}^{\infty} \frac{8}{(2m+1)^2\pi^2}\exp\!\big[-(2m+1)^2\pi^2 T_v\big].
  • O fator de tempo T_v é dado por
T_v=\frac{c_v\,t}{H_{\text{dr}}^{\,2}},
onde c_v é a constante de adensamento (depende do solo) e H_{\text{dr}} é o comprimento de escoamento (distância máxima que a água precisa percorrer para drenar).
  • Para drenagem em ambas as faces, o comprimento de escoamento H_{\text{dr}} é metade da espessura total:
H_{\text{dr}}=\frac{H}{2}.
Observação prática importante: os valores de T_v correspondentes a vários valores de U são tabelados (tabelas de Taylor/Terzaghi). Como c_v é desconhecido mas constante para a amostra, podemos eliminar c_v usando a razão entre dois tempos: de T_v=\dfrac{c_v t}{H_{\text{dr}}^{2}} segue que para dois estados
\frac{t_2}{t_1}=\frac{T_{v2}}{T_{v1}}.
Portanto basta obter T_{v1} e T_{v2} correspondentes a U_1 e U_2.

Passo 3

Calcular o comprimento de escoamento. A espessura dada é
H = 20{,}0\\ \mathrm{mm}.
Como drena em ambas as faces:
H_{\text{dr}}=\frac{H}{2}=10{,}0\\ \mathrm{mm}.
(Nota: não precisamos converter para metros porque usaremos a razão t_2/t_1, em que H_{\text{dr}}^2 e c_v se cancelam; porém é bom saber o valor físico.)

Passo 4

Obter os valores de T_v para os níveis de adensamento. Usamos a tabela padrão (valores de Taylor/Terzaghi para drenagem dupla). Valores relevantes da tabela:
\begin{aligned} U&=0{,}40\longrightarrow T_v=0{,}144,\\\ U&=0{,}45\longrightarrow T_v\\ \text{(a interpolar)},\\\ U&=0{,}50\longrightarrow T_v=0{,}197,\\\ U&=0{,}70\longrightarrow T_v=0{,}373. \end{aligned}
Vamos interpolar linearmente para U_1=0{,}45 entre U=0{,}40 e U=0{,}50:
T_{v1}=0{,}144+\frac{0{,}45-0{,}40}{0{,}50-0{,}40}\big(0{,}197-0{,}144\big).
Calculemos passo a passo:
\frac{0{,}45-0{,}40}{0{,}50-0{,}40}=\frac{0{,}05}{0{,}10}=0{,}5,
0{,}197-0{,}144=0{,}053,
0{,}5\times 0{,}053=0{,}0265,
T_{v1}=0{,}144+0{,}0265=0{,}1705\approx 0{,}171.
Para U_2=0{,}70 usamos o valor tabelado
T_{v2}=0{,}373.

Passo 5

Usar a razão dos tempos (eliminação de c_v). Da relação
\frac{t_2}{t_1}=\frac{T_{v2}}{T_{v1}}
temos
t_2 = t_1\frac{T_{v2}}{T_{v1}}.
Substituindo os números:
t_2 = 8\\ \mathrm{min}\times\frac{0{,}373}{0{,}1705}.
Calcule:
\frac{0{,}373}{0{,}1705}\approx 2{,}1883,
t_2 \approx 8\times 2{,}1883 \approx 17{,}5064\\ \mathrm{min}.
Arredondando de forma usual, obtemos aproximadamente 17{,}5\\ \mathrm{min}.

Passo 6

Interpretação final curta e dica para prova: o procedimento padrão é (1) identificar H_{\text{dr}} (metade da espessura para drenagem dupla), (2) obter T_v de uma tabela para os graus de adensamento desejados (ou calcular numericamente pela série), (3) usar a proporção t\propto T_v. Aqui a resposta ficou em torno de 17{,}5\\ \mathrm{min}. Se você usar uma tabela com valores mais precisos para U=0{,}45, o resultado muda muito pouco (casa dos 17{,}4 17{,}6\\ \mathrm{min}) — então está bom para prova.

Resposta

t\approx 17{,}5\\ \mathrm{min}

Exercícios relacionados