\mathbf{1}^{\text {a }} QUESTÃO. O recalque total previsto, devido ao adensamento de uma camada argilosa saturada, é de 0,15 \mathrm{~m}. Três meses após a aplicação da carga, ocorreu um recalque de 0,05 \mathrm{~m}. Quantos meses serão necessários para atingir o recalque de 0,08 \mathrm{~m} ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz esta pergunta.
  • Dado: o recalque total previsto (recalque final) é \,S_\infty = 0,15\\ \mathrm{m}.
  • Dado: após 3 meses o recalque observado foi \,s(3\\ \text{meses}) = 0,05\\ \mathrm{m}.
  • Pergunta: quantos meses serão necessários para que o recalque atinja \,s = 0,08\\ \mathrm{m} ?
    Observação: o enunciado não fornece espessura da camada nem coeficiente de adensamento, então usaremos relações adimensionais que eliminem essas incógnitas.

Passo 2

Escolha do método (explicando por que): vamos tratar o problema pela teoria de adensamento unidimensional (Terzaghi). Essa teoria relaciona o recalque acumulado s(t) com o recalque final S_\infty através do grau de adensamento
U(t)=\frac{s(t)}{S_\infty}.
Para obter tempos a partir de U usa-se o fator de tempo \,T_v. Para simplificar os cálculos em provas (quando U não é muito grande) existe a aproximação útil
U \approx \frac{4}{\pi}\sqrt{T_v},
válida para tempos iniciais e graus de adensamento não muito altos (tipicamente até cerca de U\approx 0{,}6). Vou usar essa aproximação porque: (i) permite eliminar c_v e H ao comparar dois instantes; (ii) os valores aqui têm U finais cerca de 0{,}53 (dentro da faixa aceitável). Se estivesse muito acima de 0{,}6 eu teria que usar a série completa ou tabelas.

Passo 3

Definições e fórmulas importantes (aula rápida):
  • s(t) = recalque acumulado no tempo t.
  • S_\infty = recalque final (quando a água já saiu totalmente).
  • Grau de adensamento:
U(t)=\frac{s(t)}{S_\infty}.
  • Fator de tempo (definição padrão):
T_v=\frac{c_v\,t}{H^2},
onde c_v é o coeficiente de adensamento e H é a espessura do percurso de drenagem. Observação: aqui não conhecemos c_v nem H, mas veremos que eles não são necessários.
  • Aproximação para U em função de T_v:
U \approx \frac{4}{\pi}\sqrt{T_v}.
Despejando \sqrt{T_v} obtemos
\sqrt{T_v}\approx \frac{\pi}{4}\,U
e elevando ao quadrado:
T_v \approx \frac{\pi^2}{16}\,U^2.
Como T_v é proporcional a t (mesma constante c_v/H^2 para todos os tempos do mesmo problema), quando comparamos dois instantes t_1 e t_2 temos a relação
\frac{t_2}{t_1}=\frac{T_{v2}}{T_{v1}}\approx\frac{U_2^2}{U_1^2}.
Isso é ótimo porque elimina c_v e H.

Passo 4

Calcule os graus de adensamento pedidos (a partir dos dados do enunciado).
  • Para t_1=3 meses, com s(3)=0,05\\ \mathrm{m}:
U_1=\frac{s(3)}{S_\infty}=\frac{0,05}{0,15}=\frac{1}{3}\approx 0{,}333333.
  • Para o objetivo s=0,08\\ \mathrm{m}:
U_2=\frac{0,08}{0,15}=\frac{8}{15}\approx 0{,}533333.

Passo 5

Use a relação entre tempos via os graus de adensamento (derivada da aproximação).
\frac{t_2}{t_1}\approx\left(\frac{U_2}{U_1}\right)^2.
Substituindo U_1=\tfrac{1}{3} e U_2=\tfrac{8}{15}:
\frac{U_2}{U_1}=\frac{8/15}{1/3}=\frac{8}{15}\cdot 3=\frac{24}{15}=1{,}6.
Portanto
\frac{t_2}{t_1}\approx (1{,}6)^2=2{,}56.

Passo 6

Calcule o tempo total t_2.
t_2 \approx t_1\cdot 2{,}56 = 3\\ \text{meses}\times 2{,}56 = 7{,}68\\ \text{meses}.
Logo, desde a aplicação da carga até atingir s=0,08\\ \mathrm{m} serão cerca de 7{,}68 meses. Se quiser saber quanto falta a partir do instante já decorridos 3 meses:
\Delta t = t_2 - 3 = 7{,}68 - 3 = 4{,}68\\ \text{meses}.

Passo 7

Verificação rápida da validade e dica de prova:
  • Nosso U_2\approx 0{,}533 está dentro da faixa onde a aproximação U\approx \tfrac{4}{\pi}\sqrt{T_v} é geralmente aceitável (até ~0,6). Portanto o resultado é razoável para uso em prova sem tabelas.
  • Em uma prova, explique que você usou a aproximação e justifique porque ela vale (mostre que U_2 não é muito grande). Se for solicitado resultado mais preciso, use a série de Terzaghi ou a tabela de T_v vs U.

Resposta

Total: 7,68\\ \text{meses}
Adicional após 3 meses: 4,68\\ \text{meses}

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