QUESTÃO. O recalque total previsto, devido ao adensamento de uma camada argilosa saturada, é de
. Três meses após a aplicação da carga, ocorreu um recalque de
. Quantos meses serão necessários para atingir o recalque de
?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz esta pergunta.
- Dado: o recalque total previsto (recalque final) é
. - Dado: após
meses o recalque observado foi . - Pergunta: quantos meses serão necessários para que o recalque atinja
?
Observação: o enunciado não fornece espessura da camada nem coeficiente de adensamento, então usaremos relações adimensionais que eliminem essas incógnitas.
Passo 2
Escolha do método (explicando por que): vamos tratar o problema pela teoria de adensamento unidimensional (Terzaghi). Essa teoria relaciona o recalque acumulado
com o recalque final
através do grau de adensamento
Para obter tempos a partir de
usa-se o fator de tempo
. Para simplificar os cálculos em provas (quando
não é muito grande) existe a aproximação útil
válida para tempos iniciais e graus de adensamento não muito altos (tipicamente até cerca de
). Vou usar essa aproximação porque: (i) permite eliminar
e
ao comparar dois instantes; (ii) os valores aqui têm
finais cerca de
(dentro da faixa aceitável). Se estivesse muito acima de
eu teria que usar a série completa ou tabelas.
Passo 3
Definições e fórmulas importantes (aula rápida):
-
= recalque acumulado no tempo . -
= recalque final (quando a água já saiu totalmente). - Grau de adensamento:
- Fator de tempo (definição padrão):
onde
é o coeficiente de adensamento e
é a espessura do percurso de drenagem. Observação: aqui não conhecemos
nem
, mas veremos que eles não são necessários.
- Aproximação para
em função de :
Despejando
obtemos
e elevando ao quadrado:
Como
é proporcional a
(mesma constante
para todos os tempos do mesmo problema), quando comparamos dois instantes
e
temos a relação
Isso é ótimo porque elimina
e
.
Passo 4
Calcule os graus de adensamento pedidos (a partir dos dados do enunciado).
- Para
meses, com :
- Para o objetivo
:
Passo 5
Use a relação entre tempos via os graus de adensamento (derivada da aproximação).
Substituindo
e
:
Portanto
Passo 6
Calcule o tempo total
.
Logo, desde a aplicação da carga até atingir
serão cerca de
meses. Se quiser saber quanto falta a partir do instante já decorridos
meses:
Passo 7
Verificação rápida da validade e dica de prova:
- Nosso
está dentro da faixa onde a aproximação é geralmente aceitável (até ~0,6). Portanto o resultado é razoável para uso em prova sem tabelas. - Em uma prova, explique que você usou a aproximação e justifique porque ela vale (mostre que
não é muito grande). Se for solicitado resultado mais preciso, use a série de Terzaghi ou a tabela de vs .
Resposta
Total:
Adicional após 3 meses:
Adicional após 3 meses: