Questão (
pontos) Uma espira metálica circular de raio
e resistência
está localizada no plano XY, onde atua um campo magnético constante
, espacialmente uniforme, onde
é o vetor unitário perpendicular ao plano da página e saindo do papel. Em
, o raio da espira circular
começa a aumentar com o tempo segundo a expressão
, onde
é a taxa de crescimento do raio. Considerando que o sistema encontra-se no vácuo e para
:
(a)
Calcule o fluxo magnético através da espira.
(b)
Utilize a Lei de Faraday para calcular o módulo da força eletromotriz induzida na espira.
(c)
Qual é sentido da corrente induzida (horário ou anti-horário), quando se olha frontalmente a figura? Justifique sua resposta.
(a)
(b)
(c)
Passo 1
O enunciado pede três coisas, para
:
- (a) Calcular o fluxo magnético através da espira.
- (b) Usar a Lei de Faraday para calcular o módulo da força eletromotriz induzida na espira.
- (c) Determinar o sentido da corrente induzida (horário ou anti-horário), vista frontalmente, e justificar.
Informações relevantes dadas pelo enunciado e pela figura:
- O campo magnético é uniforme e constante:
. - A espira é circular, está no plano
(logo a normal da espira é ). - O raio da espira varia com o tempo segundo
, com . - A resistência da espira é
(aparecendo na figura). - No desenho há um ponto no centro de um círculo indicando que
aponta para fora da página (na direção de ). - Considerar o sistema no vácuo (não há materiais magnéticos que alterem o campo).
Passo 2
Definir o fluxo magnético e escrever a expressão geral.
A definição física do fluxo magnético através de uma superfície
é a integral do produto escalar do campo magnético pela área:
Aqui a espira é um círculo plano de raio
, o campo
é uniforme e a normal da área é
. Assim o produto escalar é
(porque o ângulo entre
e
é zero).
A área do círculo de raio
é
. Portanto, o fluxo magnético através da espira, como função de
, é
Agora substitui-se
(informação do enunciado) para obter o fluxo em função do tempo:
Colocando de forma limpa:
Passo 3
Apresentar a Lei de Faraday e calcular a força eletromotriz induzida (módulo).
A Lei de Faraday para uma espira fechada diz que a força eletromotriz (f.e.m.) induzida
é igual ao negativo da taxa de variação do fluxo magnético total através da espira:
Aqui
é a f.e.m. (em volts), e o sinal negativo é a expressão matemática da Lei de Lenz (indica que a corrente induzida se opõe à variação do fluxo).
Usando a expressão do fluxo encontrada no passo anterior:
Derivando em relação ao tempo:
Logo a f.e.m. (com sinal) é
A questão (b) pede o módulo da f.e.m., então tomamos o valor absoluto:
Observação útil (ensino prático): se fosse pedido a corrente induzida, ela seria dada por
.
Passo 4
Determinar o sentido da corrente induzida e justificar com a Lei de Lenz e a regra da mão direita.
Primeiro analisar a variação do fluxo: para
o raio
aumenta com o tempo, logo a área
cresce e, como
é constante e aponta para fora da página, o fluxo total através da espira (no sentido positivo
) aumenta com o tempo. Ou seja, há um aumento de fluxo “para fora” da página.
A Lei de Lenz diz que a corrente induzida terá um sentido tal que seu campo magnético induzido se oponha à variação do fluxo. Aqui o fluxo para fora aumenta, então o campo magnético gerado pela corrente induzida deve apontar para dentro da página (oposto ao incremento), isto é, para
.
Agora usar a regra da mão direita para relacionar sentido da corrente com direção do campo magnético que ela produz: quando os dedos da mão direita percorrem o sentido da corrente no laço, o polegar indica a direção do campo magnético no centro do laço. Para obter um campo para dentro da página (
), o sentido dos dedos deve ser horário, visto da frente. Portanto a corrente induzida é no sentido horário quando vista frontalmente.
Passo 5
Resumo final das fórmulas e unidades (curto lembrete técnico):
- Fluxo
em unidades de weber ( ). - f.e.m.
em volts ( ).
As expressões obtidas são fáceis de calcular sem calculadora se os símbolos numéricos forem conhecidos.
Resposta
(a)
(b)
(c) Sentido horário (vista frontalmente).