\mathbf{3}^{\text {a }} Questão ( \mathbf{3}, \mathbf{5} pontos) Uma espira metálica circular de raio r e resistência R está localizada no plano XY, onde atua um campo magnético constante \vec{B}=B_{0} \hat{z}, espacialmente uniforme, onde \hat{z} é o vetor unitário perpendicular ao plano da página e saindo do papel. Em t=0, o raio da espira circular r começa a aumentar com o tempo segundo a expressão r(t)=v t, onde v>0 é a taxa de crescimento do raio. Considerando que o sistema encontra-se no vácuo e para t>0 :
(a) (\mathbf{1 , 0}) Calcule o fluxo magnético através da espira.
(b) (\mathbf{1 , 5}) Utilize a Lei de Faraday para calcular o módulo da força eletromotriz induzida na espira.
(c) (\mathbf{1 , 0}) Qual é sentido da corrente induzida (horário ou anti-horário), quando se olha frontalmente a figura? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede três coisas, para t>0:
  • (a) Calcular o fluxo magnético através da espira.
  • (b) Usar a Lei de Faraday para calcular o módulo da força eletromotriz induzida na espira.
  • (c) Determinar o sentido da corrente induzida (horário ou anti-horário), vista frontalmente, e justificar.
Informações relevantes dadas pelo enunciado e pela figura:
  • O campo magnético é uniforme e constante: \vec{B}=B_{0}\,\hat{z}.
  • A espira é circular, está no plano xy (logo a normal da espira é \hat{z}).
  • O raio da espira varia com o tempo segundo r(t)=v\,t, com v>0.
  • A resistência da espira é R (aparecendo na figura).
  • No desenho há um ponto no centro de um círculo indicando que \vec{B} aponta para fora da página (na direção de \hat{z}).
  • Considerar o sistema no vácuo (não há materiais magnéticos que alterem o campo).

Passo 2

Definir o fluxo magnético e escrever a expressão geral.
A definição física do fluxo magnético através de uma superfície S é a integral do produto escalar do campo magnético pela área:
\Phi = \iint_{S} \vec{B}\cdot d\vec{A}.
Aqui a espira é um círculo plano de raio r, o campo \vec{B}=B_{0}\,\hat{z} é uniforme e a normal da área é \hat{z}. Assim o produto escalar é \vec{B}\cdot d\vec{A} = B_{0}\,dA (porque o ângulo entre \vec{B} e d\vec{A} é zero).
A área do círculo de raio r é \pi r^{2}. Portanto, o fluxo magnético através da espira, como função de r, é
\Phi = B_{0}\times(\text{área}) = B_{0}\,\pi r^{2}.á
Agora substitui-se r(t)=v\,t (informação do enunciado) para obter o fluxo em função do tempo:
\Phi(t)=B_{0}\,\pi\,[r(t)]^{2} = B_{0}\,\pi\,(v t)^{2}.
Colocando de forma limpa:
\Phi(t)=\pi\,B_{0}\,v^{2}\,t^{2}.

Passo 3

Apresentar a Lei de Faraday e calcular a força eletromotriz induzida (módulo).
A Lei de Faraday para uma espira fechada diz que a força eletromotriz (f.e.m.) induzida \varepsilon é igual ao negativo da taxa de variação do fluxo magnético total através da espira:
\varepsilon = -\dfrac{d\Phi}{dt}.
Aqui \varepsilon é a f.e.m. (em volts), e o sinal negativo é a expressão matemática da Lei de Lenz (indica que a corrente induzida se opõe à variação do fluxo).
Usando a expressão do fluxo encontrada no passo anterior:
\Phi(t)=\pi B_{0} v^{2} t^{2}.
Derivando em relação ao tempo:
\dfrac{d\Phi}{dt}= \dfrac{d}{dt}\big(\pi B_{0} v^{2} t^{2}\big) = \pi B_{0} v^{2}\cdot 2t = 2\pi B_{0} v^{2} t.
Logo a f.e.m. (com sinal) é
\varepsilon(t) = -\,2\pi B_{0} v^{2} t.
A questão (b) pede o módulo da f.e.m., então tomamos o valor absoluto:
|\varepsilon(t)| = 2\pi B_{0} v^{2} t.
Observação útil (ensino prático): se fosse pedido a corrente induzida, ela seria dada por I(t)=\dfrac{|\varepsilon(t)|}{R}=\dfrac{2\pi B_{0} v^{2} t}{R}.

Passo 4

Determinar o sentido da corrente induzida e justificar com a Lei de Lenz e a regra da mão direita.
Primeiro analisar a variação do fluxo: para v>0 o raio r(t)=v t aumenta com o tempo, logo a área \pi r^{2} cresce e, como B_{0} é constante e aponta para fora da página, o fluxo total através da espira (no sentido positivo \hat{z}) aumenta com o tempo. Ou seja, há um aumento de fluxo “para fora” da página.
A Lei de Lenz diz que a corrente induzida terá um sentido tal que seu campo magnético induzido se oponha à variação do fluxo. Aqui o fluxo para fora aumenta, então o campo magnético gerado pela corrente induzida deve apontar para dentro da página (oposto ao incremento), isto é, para -\hat{z}.
Agora usar a regra da mão direita para relacionar sentido da corrente com direção do campo magnético que ela produz: quando os dedos da mão direita percorrem o sentido da corrente no laço, o polegar indica a direção do campo magnético no centro do laço. Para obter um campo para dentro da página ( -\hat{z}), o sentido dos dedos deve ser horário, visto da frente. Portanto a corrente induzida é no sentido horário quando vista frontalmente.

Passo 5

Resumo final das fórmulas e unidades (curto lembrete técnico):
  • Fluxo \Phi(t) em unidades de weber ( \mathrm{Wb}).
  • f.e.m. |\varepsilon(t)| em volts ( \mathrm{V}).
    As expressões obtidas são fáceis de calcular sem calculadora se os símbolos numéricos forem conhecidos.

Resposta

(a) \Phi(t)=\pi\,B_{0}\,v^{2}\,t^{2}
(b) |\varepsilon(t)|=2\pi\,B_{0}\,v^{2}\,t
(c) Sentido horário (vista frontalmente).

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