Dados os vetores: vec{a}=\hat{\imath}+4 \hat{\jmath}-5 \hat{k}, \vec{b}=3 \hat{\imath}-2 \hat{\jmath}-3 \hat{k} e vec{c}=4 \hat{\imath}-2 \hat{\jmath}-3 \hat{k}, determine:
\vec{a}-\vec{b}+\vec{c}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a expressão \vec{a}-\vec{b}+\vec{c}. Os vetores fornecidos são:
\vec{a}=\hat{\imath}+4\hat{\jmath}-5\hat{k}, \qquad \vec{b}=3\hat{\imath}-2\hat{\jmath}-3\hat{k}, \qquad \vec{c}=4\hat{\imath}-2\hat{\jmath}-3\hat{k}.
Vou listar claramente as informações relevantes que o enunciado deu:
  • Componente na direção \hat{\imath} (eixo x) de \vec{a} é 1; de \vec{b} é 3; de \vec{c} é 4.
  • Componente na direção \hat{\jmath} (eixo y) de \vec{a} é 4; de \vec{b} é -2; de \vec{c} é -2.
  • Componente na direção \hat{k} (eixo z) de \vec{a} é -5; de \vec{b} é -3; de \vec{c} é -3.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (a “aula” rápida):
  • Qualquer vetor tridimensional pode ser escrito como
\vec{v}=v_x\hat{\imath}+v_y\hat{\jmath}+v_z\hat{k},
onde v_x, v_y e v_z são as componentes nas direções \hat{\imath}, \hat{\jmath} e \hat{k}, respectivamente.
  • A soma (ou subtração) de vetores é feita componente a componente. Se \vec{u}=(u_x,u_y,u_z) e \vec{v}=(v_x,v_y,v_z), então
\vec{u}\pm\vec{v}=(u_x\pm v_x,\,u_y\pm v_y,\,u_z\pm v_z),
ou, em notação com vetores unitários,
\vec{u}\pm\vec{v}=(u_x\pm v_x)\hat{\imath}+(u_y\pm v_y)\hat{\jmath}+(u_z\pm v_z)\hat{k}.
Explicando em palavras: você só combina as componentes correspondentes; por isso é útil escrever os vetores como tripletas (x,y,z) e operar termo a termo. Dica prática para a prova: coloque parênteses quando uma componente for negativa para evitar erro de sinal (por exemplo \vec{b}=(3,\,-2,\,-3)).

Passo 3

Escrever os vetores como tripletas (peguei esses números do enunciado):
\vec{a}=(1,\;4,\;-5),\qquad \vec{b}=(3,\;-2,\;-3),\qquad \vec{c}=(4,\;-2,\;-3).

Passo 4

Calcular a componente em \hat{\imath} (componente x):
(\vec{a}-\vec{b}+\vec{c})_x = 1 - 3 + 4.
Fazendo as contas passo a passo:
1 - 3 = -2,\qquad -2 + 4 = 2.
Portanto a componente x é 2.

Passo 5

Calcular a componente em \hat{\jmath} (componente y). Atenção aos sinais:
(\vec{a}-\vec{b}+\vec{c})_y = 4 - (-2) + (-2).
Passo a passo:
4 - (-2) = 4 + 2 = 6,\qquad 6 + (-2) = 4.
Portanto a componente y é 4.

Passo 6

Calcular a componente em \hat{k} (componente z). Novamente atenção aos sinais:
(\vec{a}-\vec{b}+\vec{c})_z = -5 - (-3) + (-3).
Passo a passo:
-5 - (-3) = -5 + 3 = -2,\qquad -2 + (-3) = -5.
Portanto a componente z é -5.

Passo 7

Montar o vetor resultado reunindo as componentes calculadas:
\vec{a}-\vec{b}+\vec{c}=2\hat{\imath}+4\hat{\jmath}-5\hat{k}.
Comentário final amigo: sempre que fizer esse tipo de operação na prova, transforme tudo em tripletas, opere componente a componente e verifique sinais com cuidado — usar parênteses ajuda muito.

Resposta

\;2\hat{\imath}+4\hat{\jmath}-5\hat{k}

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