Questão: (
pontos
Obrigatória): Considere o escoamento de um fluido através da região
. A superfície
apresenta um fluxo de massa conhecido
. A distribuição de velocidades na superfície
é
. A densidade do fluido no interior da região é constante e dada por
. Calcule a constante
. São dadas as constantes positivas
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a constante
. As informações relevantes que temos são:
- A região considerada é o semibol de raio
: . - A superfície esférica
apresenta um fluxo de massa conhecido . - Na superfície plana
(o disco ) a velocidade é
- A densidade do fluido no interior é constante e igual a
. - São dadas as constantes positivas
e .
Observação necessária (pois o problema usa
sem defini-la explicitamente): aqui vou interpretar
como taxa volumétrica de produção de massa (isto é, geração de massa por unidade de volume, com unidades de massa por tempo por volume). Essa interpretação é coerente com o fato de
ser uma constante positiva apresentada entre os dados; se
fosse outra coisa o enunciado deveria informá-lo. Vou usar essa hipótese para aplicar o balanço de massa.
Passo 2
Escrevendo o balanço de massa em estado estacionário para o volume de controle (o semibol): a soma do fluxo de massa saindo pelas superfícies do volume deve ser igual à massa criada dentro do volume por unidade de tempo. Em símbolos,
Aqui
(dado) e a produção total é
(produção por volume) vezes o volume do semibol. Vamos calcular cada termo explicitamente.
Passo 3
Volume do semibol (metade de uma esfera de raio
):
Portanto a produção total é
Passo 4
Agora calculamos o fluxo de massa através do disco
. Precisamos do produto
vezes o fluxo volumétrico normal à superfície:
- O vetor normal externo à região, na superfície
, aponta no sentido negativo de , ou seja . - A componente da velocidade normal à superfície é
.
Da expressão da velocidade temos. Logo
O fluxo de massa (positivo no sentido de saída do volume) através do disco é
onde
.
Passo 5
Calculamos a integral no disco em coordenadas polares no plano
. Seja
,
,
. Então
. A integral fica
Factorizando constantes:
Calcule cada integral:
Portanto
Passo 6
Agora retornamos ao balanço de massa do Passo 2:
Substituindo o valor de
do Passo 5:
Passo 7
Isolamos
. Primeiro movemos o termo com
:
Multiplicando por
:
Finalmente,
Passo 8
Podemos escrever a expressão em forma separada para ficar mais clara: