\mathbf{1}^{\text {a }} Questão: ( \mathbf{3 , 5} pontos \rightarrow Obrigatória): Considere o escoamento de um fluido através da região x^{2}+y^{2}+z^{2}<R^{2}, \quad x>0. A superfície x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2} apresenta um fluxo de massa conhecido \dot{m}_{\text {SUP }}. A distribuição de velocidades na superfície x=0 é \mathbf{v}=\beta\left(R^{2}-y^{2}-\mathrm{z}^{2}\right)(\mathbf{i}+\mathbf{j}-\mathbf{k}). A densidade do fluido no interior da região é constante e dada por \rho. Calcule a constante \beta. São dadas as constantes positivas \dot{m}_{\text {SUP }}, \gamma, \rho e R.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a constante \beta. As informações relevantes que temos são:
  • A região considerada é o semibol de raio R: \{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}<R^{2},\;x>0\}.
  • A superfície esférica \;x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}\; apresenta um fluxo de massa conhecido \dot{m}_{\text{SUP}}.
  • Na superfície plana \;x=0\; (o disco y^{2}+z^{2}\le R^{2}) a velocidade é
\mathbf{v}=\beta\bigl(R^{2}-y^{2}-z^{2}\bigr)\bigl(\mathbf{i}+\mathbf{j}-\mathbf{k}\bigr).
  • A densidade do fluido no interior é constante e igual a \rho.
  • São dadas as constantes positivas \dot{m}_{\text{SUP}},\;\gamma,\;\rho e R.
Observação necessária (pois o problema usa \gamma sem defini-la explicitamente): aqui vou interpretar \gamma como taxa volumétrica de produção de massa (isto é, geração de massa por unidade de volume, com unidades de massa por tempo por volume). Essa interpretação é coerente com o fato de \gamma ser uma constante positiva apresentada entre os dados; se \gamma fosse outra coisa o enunciado deveria informá-lo. Vou usar essa hipótese para aplicar o balanço de massa.

Passo 2

Escrevendo o balanço de massa em estado estacionário para o volume de controle (o semibol): a soma do fluxo de massa saindo pelas superfícies do volume deve ser igual à massa criada dentro do volume por unidade de tempo. Em símbolos,
\dot{m}_{\text{sai, esférica}}+\dot{m}_{\text{sai, plana}}=\text{produção total dentro do volume}.éçã
Aqui \dot{m}_{\text{sai, esférica}}=\dot{m}_{\text{SUP}}é (dado) e a produção total é \gamma (produção por volume) vezes o volume do semibol. Vamos calcular cada termo explicitamente.

Passo 3

Volume do semibol (metade de uma esfera de raio R):
V=\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{3}\pi R^{3}=\frac{2}{3}\pi R^{3}.
Portanto a produção total é
\text{produção total}=\gamma V=\gamma\cdot\frac{2}{3}\pi R^{3}.çã

Passo 4

Agora calculamos o fluxo de massa através do disco x=0. Precisamos do produto \rho vezes o fluxo volumétrico normal à superfície:
  • O vetor normal externo à região, na superfície x=0, aponta no sentido negativo de x, ou seja \mathbf{n}=-\mathbf{i}.
  • A componente da velocidade normal à superfície é v_n=\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}=\mathbf{v}\cdot(-\mathbf{i})=-v_x.
    Da expressão da velocidade temos v_x=\beta(R^{2}-y^{2}-z^{2}). Logo
v_n=-\beta\bigl(R^{2}-y^{2}-z^{2}\bigr).
O fluxo de massa (positivo no sentido de saída do volume) através do disco é
\dot{m}_{\text{plana}}=\rho\iint_{D} v_n\,dS,
onde D=\{(y,z)\mid y^{2}+z^{2}\le R^{2}\}.

Passo 5

Calculamos a integral no disco em coordenadas polares no plano (y,z). Seja r^{2}=y^{2}+z^{2}, 0\le r\le R, 0\le\theta\le 2\pi. Então dS= r\,dr\,d\theta. A integral fica
\dot{m}_{\text{plana}}=\rho\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{R}\bigl[-\beta(R^{2}-r^{2})\bigr]\,r\,dr\,d\theta.
Factorizando constantes:
\dot{m}_{\text{plana}}=-\rho\beta\cdot \int_{0}^{2\pi} d\theta \cdot \int_{0}^{R} (R^{2}r - r^{3})\,dr.
Calcule cada integral:
\int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi,
\int_{0}^{R} (R^{2}r - r^{3})\,dr = R^{2}\cdot\frac{R^{2}}{2} - \frac{R^{4}}{4} = \frac{R^{4}}{2}-\frac{R^{4}}{4}=\frac{R^{4}}{4}.
Portanto
\dot{m}_{\text{plana}}=-\rho\beta\cdot 2\pi \cdot \frac{R^{4}}{4}=-\frac{\rho\beta\pi R^{4}}{2}.

Passo 6

Agora retornamos ao balanço de massa do Passo 2:
\dot{m}_{\text{SUP}}+\dot{m}_{\text{plana}}=\gamma\cdot\frac{2}{3}\pi R^{3}.
Substituindo o valor de \dot{m}_{\text{plana}} do Passo 5:
\dot{m}_{\text{SUP}} - \frac{\rho\beta\pi R^{4}}{2} = \gamma\cdot\frac{2}{3}\pi R^{3}.

Passo 7

Isolamos \beta. Primeiro movemos o termo com \beta:
- \frac{\rho\beta\pi R^{4}}{2} = \gamma\cdot\frac{2}{3}\pi R^{3} - \dot{m}_{\text{SUP}}.
Multiplicando por -1:
\frac{\rho\beta\pi R^{4}}{2} = \dot{m}_{\text{SUP}} - \gamma\cdot\frac{2}{3}\pi R^{3}.
Finalmente,
\beta = \frac{2}{\rho\pi R^{4}}\left(\dot{m}_{\text{SUP}} - \frac{2}{3}\pi\gamma R^{3}\right).

Passo 8

Podemos escrever a expressão em forma separada para ficar mais clara:
\beta = \frac{2\dot{m}_{\text{SUP}}}{\rho\pi R^{4}} - \frac{4\gamma}{3\rho R}.

Resposta

\beta = \frac{2\dot{m}_{\text{SUP}}}{\rho\pi R^{4}} - \frac{4\gamma}{3\rho R}

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