Considere o escoamento de um fluido com densidade constante
(dada) onde o campo de velocidades é dado por
onde
e
são constantes dadas. Calcule a resultante das forças exercidas sobre o fluido contido na região
e
.
Passo 1
O enunciado dá o campo de velocidades e a região ocupada pelo fluido e pede a resultante das forças exercidas sobre o fluido contido nessa região. Dados e pedido, listados claramente:
- Densidade do fluido:
(constante e dada). - Campo de velocidades:
, onde e são constantes dadas e é o versor na direção . - Região espacial ocupada pelo fluido (paralelepípedo):
. - Pedido: calcular a resultante das forças exercidas sobre o fluido contido nessa região.
Não há outras forças (por exemplo gravidade) explicitamente fornecidas no enunciado, portanto seguiremos com a informação dada.
Passo 2
Escolha do método e ideia física (explicada passo a passo, sem pular etapas).
Quando o enunciado pede a “resultante das forças exercidas sobre o fluido contido na região”, uma maneira direta e bem didática de obter essa resultante é usar a conservação do momento linear para um volume de fluido material. A ideia é:
- Considere o volume material
formado pelas mesmas partículas de fluido que, em um certo instante, ocupam a região indicada. Ou seja, acompanhamos as partículas que estavam nessa região. - A segunda lei de Newton para esse volume material diz que a resultante das forças externas sobre esse volume é igual à taxa de variação do momento linear desse volume:
- A regra de transporte de Reynolds (ou simplesmente a definição do derivado material) transforma essa derivada em uma integral do produto da densidade pela aceleração material:
onde
é o derivado material. Aqui
é a aceleração de cada partícula do fluido.
Essa escolha é prática porque não precisamos conhecer detalhes das tensões de superfície (pressão, viscosidade) nas paredes do volume: basta computar a aceleração das partículas e integrar. Agora vamos calcular
para o campo dado.
Passo 3
Calcular explicitamente o derivado material
.
Primeiro escrevemos componentes do campo:
O derivado material em componentes é
No enunciado o campo de velocidades não depende do tempo explicitamente, logo
Portanto
Agora calculamos
componente a componente. Usamos a forma expandida
Como
e
, os dois primeiros termos anulam-se imediatamente. O terceiro termo é
, mas
depende apenas de
, isto é,
. Portanto
Conclusão: a aceleração material é nula em todo o domínio considerado:
(Comentário didático curto: isso acontece porque as partículas não têm velocidade nas direções
e
, logo cada partícula mantém seu valor de
fixo; como
depende de
só, e
não muda ao longo da trajetória,
também não muda no tempo para cada partícula — portanto não há aceleração.)
Passo 4
Integrar a aceleração para obter a resultante das forças.
Usando a fórmula do Passo 2,
Como
em todo o volume,
A integral do vetor nulo sobre qualquer volume é o vetor nulo. Note que não precisamos mesmo calcular o volume numérico; a aceleração zero já garante a resultante nula.
Passo 5
Interpretação final e reforço didático rápido.
- Resultado física: não é preciso aplicar força resultante para manter esse padrão de velocidade no fluido dentro do volume considerado — cada partícula move-se com velocidade constante (sem acelerar), por isso a resultante sobre o conjunto de partículas é zero.
- Observação prática: se o enunciado tivesse incluído forças de corpo (por exemplo gravidade) ou dependência temporal do campo, essas contribuiriam e teríamos que somá-las; aqui nada disso foi dado, então a resposta é zero.