Considere o escoamento de um fluido com densidade constante \rho (dada) onde o campo de velocidades é dado por
\mathbf{v}=\frac{U x}{L} \mathbf{k}
onde U e L são constantes dadas. Calcule a resultante das forças exercidas sobre o fluido contido na região 0<x<L,-L<y<L e L<z<2 L.

Passo 1

O enunciado dá o campo de velocidades e a região ocupada pelo fluido e pede a resultante das forças exercidas sobre o fluido contido nessa região. Dados e pedido, listados claramente:
  • Densidade do fluido: \rho (constante e dada).
  • Campo de velocidades: \displaystyle \mathbf{v}=\frac{U x}{L}\,\mathbf{k}, onde U e L são constantes dadas e \mathbf{k} é o versor na direção z.
  • Região espacial ocupada pelo fluido (paralelepípedo): 0<x<L,\; -L<y<L,\; L<z<2L.
  • Pedido: calcular a resultante das forças exercidas sobre o fluido contido nessa região.
Não há outras forças (por exemplo gravidade) explicitamente fornecidas no enunciado, portanto seguiremos com a informação dada.

Passo 2

Escolha do método e ideia física (explicada passo a passo, sem pular etapas).
Quando o enunciado pede a “resultante das forças exercidas sobre o fluido contido na região”, uma maneira direta e bem didática de obter essa resultante é usar a conservação do momento linear para um volume de fluido material. A ideia é:
  • Considere o volume material V(t) formado pelas mesmas partículas de fluido que, em um certo instante, ocupam a região indicada. Ou seja, acompanhamos as partículas que estavam nessa região.
  • A segunda lei de Newton para esse volume material diz que a resultante das forças externas sobre esse volume é igual à taxa de variação do momento linear desse volume:
\mathbf{F}_{\text{res}}=\frac{d}{dt}\int_{V(t)} \rho\,\mathbf{v}\,dV.
  • A regra de transporte de Reynolds (ou simplesmente a definição do derivado material) transforma essa derivada em uma integral do produto da densidade pela aceleração material:
\frac{d}{dt}\int_{V(t)} \rho\,\mathbf{v}\,dV=\int_{V(t)} \rho\,\frac{D\mathbf{v}}{Dt}\,dV,
onde \displaystyle \frac{D}{Dt}=\frac{\partial}{\partial t}+(\mathbf{v}\cdot\nabla) é o derivado material. Aqui \frac{D\mathbf{v}}{Dt} é a aceleração de cada partícula do fluido.
Essa escolha é prática porque não precisamos conhecer detalhes das tensões de superfície (pressão, viscosidade) nas paredes do volume: basta computar a aceleração das partículas e integrar. Agora vamos calcular \frac{D\mathbf{v}}{Dt} para o campo dado.

Passo 3

Calcular explicitamente o derivado material \displaystyle \frac{D\mathbf{v}}{Dt}.
Primeiro escrevemos componentes do campo:
\mathbf{v}=(v_x,v_y,v_z)=(0,0,\tfrac{U x}{L}).
O derivado material em componentes é
\frac{D\mathbf{v}}{Dt}=\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t}+(\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{v}.
No enunciado o campo de velocidades não depende do tempo explicitamente, logo
\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t}=\mathbf{0}.
Portanto
\frac{D\mathbf{v}}{Dt}=(\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{v}.
Agora calculamos (\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{v} componente a componente. Usamos a forma expandida
(\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{v}=v_x\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial x}+v_y\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial y}+v_z\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial z}.
Como v_x=0 e v_y=0, os dois primeiros termos anulam-se imediatamente. O terceiro termo é v_z\partial_z\mathbf{v}, mas v_z=\tfrac{Ux}{L} depende apenas de x, isto é, \partial_z\mathbf{v}=\mathbf{0}. Portanto
(\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{v}=\mathbf{0}.
Conclusão: a aceleração material é nula em todo o domínio considerado:
\frac{D\mathbf{v}}{Dt}=\mathbf{0}.
(Comentário didático curto: isso acontece porque as partículas não têm velocidade nas direções x e y, logo cada partícula mantém seu valor de x fixo; como v_z depende de x só, e x não muda ao longo da trajetória, v_z também não muda no tempo para cada partícula — portanto não há aceleração.)

Passo 4

Integrar a aceleração para obter a resultante das forças.
Usando a fórmula do Passo 2,
\mathbf{F}_{\text{res}}=\int_{V(t)} \rho\,\frac{D\mathbf{v}}{Dt}\,dV.
Como \displaystyle \frac{D\mathbf{v}}{Dt}=\mathbf{0} em todo o volume,
\mathbf{F}_{\text{res}}=\int_{V(t)} \rho\,\mathbf{0}\,dV=\mathbf{0}.
A integral do vetor nulo sobre qualquer volume é o vetor nulo. Note que não precisamos mesmo calcular o volume numérico; a aceleração zero já garante a resultante nula.

Passo 5

Interpretação final e reforço didático rápido.
  • Resultado física: não é preciso aplicar força resultante para manter esse padrão de velocidade no fluido dentro do volume considerado — cada partícula move-se com velocidade constante (sem acelerar), por isso a resultante sobre o conjunto de partículas é zero.
  • Observação prática: se o enunciado tivesse incluído forças de corpo (por exemplo gravidade) ou dependência temporal do campo, essas contribuiriam e teríamos que somá-las; aqui nada disso foi dado, então a resposta é zero.

Resposta

\displaystyle \mathbf{F}_{\text{res}}=\mathbf{0}

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