Um certo corpo contínuo apresenta o seguinte tensor tensão de Cauchy:
\mathbf{T}=\left[\begin{array}{ccc} y+\alpha & x & z+\alpha \\\ x & L & y-\beta \\\ z+L & y+2 L & \beta \end{array}\right]
Calcule a força de contato (superfície) exercida, através da superfície z=L, sobre o subconjunto deste corpo que está contido no paralelepípedo 0<x<L,-L<y<0 e -L<z<L. Observação: apenas L é dado do problema.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a força de contato (força resultante transmitida pela superfície) através da superfície z=L sobre o subconjunto do corpo contido no paralelepípedo
0<x<L,\quad -L<y<0,\quad -L<z<L.
As informações dadas são o tensor de tensão de Cauchy
\mathbf{T}=\left[\begin{array}{ccc} y+\alpha & x & z+\alpha \\\ x & L & y-\beta \\\ z+L & y+2L & \beta \end{array}\right]
e o valor de L. As constantes \alpha e \beta aparecem no tensor mas o enunciado diz que apenas L é fornecido; portanto a resposta ficará em termos de \alpha, \beta e L.
Neste passo apenas identifiquei o que se pede e quais dados temos.

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicado passo a passo): a força de contato transmitida através de uma superfície A é obtida integrando o vetor tração \mathbf{t} sobre essa superfície:
\mathbf{F}=\iint_{A}\mathbf{t}\,dA.
O vetor tração em uma face com normal unitário \mathbf{n} é dado por
\mathbf{t}=\mathbf{T}\cdot\mathbf{n},
onde \mathbf{T} é o tensor tensão (matriz) e \mathbf{n} é o vetor normal à superfície (explico: multiplicamos a matriz \mathbf{T} pela componente do vetor normal para obter as três componentes da tração). Aqui \mathbf{F} é a força total (vetor) sobre a superfície.

Passo 3

Determinar o vetor normal à superfície z=L: o subconjunto está no interior do intervalo -L<z<L, então a superfície z=L é a face superior do volume; o normal exterior ao volume nessa face aponta no sentido positivo de z. Assim
\mathbf{n}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix}.]

Passo 4

Calcular a tração \mathbf{t}=\mathbf{T}\cdot\mathbf{n}. Multiplicando a matriz \mathbf{T} pelo vetor \mathbf{n} (pegar a terceira coluna da matriz) obtemos
\mathbf{t}(x,y,z)=\begin{pmatrix} z+\alpha\\[4pt] y-\beta\\[4pt] \beta \end{pmatrix}.
Na superfície z=L isso fica
\mathbf{t}(x,y,z=L)=\begin{pmatrix} L+\alpha\\[4pt] y-\beta\\[4pt] \beta \end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora escrevemos a integral da força sobre a face z=L. A área A é o retângulo 0\le x\le L,\\\ -L\le y\le 0, e o elemento de área é dA=dx\,dy. Assim cada componente da força é
F_i=\int_{x=0}^{L}\int_{y=-L}^{0} t_i(x,y,z=L)\,dy\,dx.

Passo 6

Calcular a componente x de \mathbf{F}:
F_x=\int_{0}^{L}\int_{-L}^{0} (L+\alpha)\,dy\,dx.
Aqui (L+\alpha) é constante em x e y, então a integral é simplesmente (L+\alpha) vezes a área do retângulo, que é L\cdot L=L^{2}. Portanto
F_x=(L+\alpha)\,L^{2}.

Passo 7

Calcular a componente y de \mathbf{F}:
F_y=\int_{0}^{L}\int_{-L}^{0} (y-\beta)\,dy\,dx.
Fazendo primeiro a integral em y:
\int_{-L}^{0} (y-\beta)\,dy=\int_{-L}^{0} y\,dy-\beta\int_{-L}^{0} 1\,dy.
Calculamos cada termo:
\int_{-L}^{0} y\,dy=\left.\frac{y^{2}}{2}\right|_{-L}^{0}=0-\frac{(-L)^{2}}{2}=-\frac{L^{2}}{2},
\int_{-L}^{0} 1\,dy=0-(-L)=L.
Logo a integral interna vale -\dfrac{L^{2}}{2}-\beta L. Agora integramos em x de 0 a L, multiplicando por L:
F_y=L\left(-\frac{L^{2}}{2}-\beta L\right)=-\frac{L^{3}}{2}-\beta L^{2}.

Passo 8

Calcular a componente z de \mathbf{F}:
F_z=\int_{0}^{L}\int_{-L}^{0} \beta\,dy\,dx.
Aqui \beta é constante, então a integral é \beta vezes a área L^{2}:
F_z=\beta\,L^{2}.

Passo 9

Juntando as três componentes obtemos a força de contato resultante através da superfície z=L:
\mathbf{F}=\begin{pmatrix} (L+\alpha)\,L^{2}\\[6pt] -\dfrac{L^{3}}{2}-\beta L^{2}\\[6pt] \beta\,L^{2} \end{pmatrix}.]

Resposta

\displaystyle \mathbf{F}=\begin{pmatrix}(L+\alpha)\,L^{2}\\[6pt]-\dfrac{L^{3}}{2}-\beta L^{2}\\[6pt]\beta\,L^{2}\end{pmatrix}]

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