Um certo corpo contínuo apresenta o seguinte tensor tensão de Cauchy:
\mathbf{T}=\left[\begin{array}{ccc} y+\alpha & x & z+\alpha \\\ x & L & y-\beta \\\ z+L & y+2 L & \beta \end{array}\right]
Calcule a força de contato (superfície) exercida, através da superfície z=L, sobre o subconjunto deste corpo que está contido no paralelepípedo 0<x<L,-L<y<0 e -L<z<L. Observação: apenas L é dado do problema.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a força de contato (força resultante transmitida pela superfície) através da superfície z=L sobre o subconjunto do corpo contido no paralelepípedo
0<x<L,\quad -L<y<0,\quad -L<z<L.
As informações dadas são o tensor de tensão de Cauchy
\mathbf{T}=\left[\begin{array}{ccc} y+\alpha & x & z+\alpha \\\ x & L & y-\beta \\\ z+L & y+2L & \beta \end{array}\right]
e o valor de L. As constantes \alpha e \beta aparecem no tensor mas o enunciado diz que apenas L é fornecido; portanto a resposta ficará em termos de \alpha, \beta e L.
Neste passo apenas identifiquei o que se pede e quais dados temos.
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicado passo a passo): a força de contato transmitida através de uma superfície A é obtida integrando o vetor tração \mathbf{t} sobre essa superfície:
\mathbf{F}=\iint_{A}\mathbf{t}\,dA.
O vetor tração em uma face com normal unitário \mathbf{n} é dado por
\mathbf{t}=\mathbf{T}\cdot\mathbf{n},
onde \mathbf{T} é o tensor tensão (matriz) e \mathbf{n} é o vetor normal à superfície (explico: multiplicamos a matriz \mathbf{T} pela componente do vetor normal para obter as três componentes da tração). Aqui \mathbf{F} é a força total (vetor) sobre a superfície.
Passo 3
Determinar o vetor normal à superfície z=L: o subconjunto está no interior do intervalo -L<z<L, então a superfície z=L é a face superior do volume; o normal exterior ao volume nessa face aponta no sentido positivo de z. Assim
Calcular a tração \mathbf{t}=\mathbf{T}\cdot\mathbf{n}. Multiplicando a matriz \mathbf{T} pelo vetor \mathbf{n} (pegar a terceira coluna da matriz) obtemos
Agora escrevemos a integral da força sobre a face z=L. A área A é o retângulo 0\le x\le L,\\\ -L\le y\le 0, e o elemento de área é dA=dx\,dy. Assim cada componente da força é