QUESTÃO: ( VALOR
)
Fatore:
Fatore:
Passo 1
O enunciado pede que eu fatore a expressão
Vamos listar os dados relevantes e o que se pede:
- A expressão é um polinômio em
de grau . - Há termos aparentemente desordenados; posso somar constantes iguais.
- A tarefa é “fatorar”: extrair fatores comuns e reescrever o polinômio como produto (ou produto somado a termo simples, se for o caso).
(Neste passo não resolvo nada ainda, apenas organizei o que temos.)
Passo 2
Primeiro vamos organizar o polinômio somando termos constantes iguais e colocando em ordem conveniente. Somei
e
:
Portanto a expressão fica
Passo 3
Agora vou tentar fatorar por agrupamento: observe os pares de termos que têm fatores em comum:
Em ambos aparece um fator com
quando fatoramos parcialmente. Fatoremos cada par:
Assim os quatro primeiros termos podem ser reescritos juntos como
Passo 4
No fator
há um fator comum
. Fatore-o:
Substituindo de volta, os termos factorizados dão
Lembre-se que restava o termo constante
que não entrou nesse agrupamento. Logo o polinômio original pode ser reescrito como
Passo 5
Agora vou mostrar como fatorar
(isso é útil porque deixa explícitos fatores polinomiais). Use a identidade de diferença de quadrados aplicando completar quadrado:
Isso é uma diferença de quadrados
com
e
. Assim
Reorganizando os termos dentro de cada fator:
Passo 6
Substituindo essa fatoração em
obtemos
Isto mostra explicitamente os fatores que aparecem por agrupamento e a fatoração de
. Note que o termo
permanece somado — não foi possível (por agrupamento simples) transformá-lo em produto sem introduzir coeficientes racionais/complexos diferentes; portanto esta é uma forma fatorada parcial (extração de fatores comuns e fatoração de um subpolinômio).