\mathbf{1}^{\text {a }} QUESTÃO: ( VALOR =\mathbf{2 , 0} )
Fatore:
4 x^{6}-16 x^{5}+15+16 x^{2}-64 x+60

Passo 1

O enunciado pede que eu fatore a expressão
4x^{6}-16x^{5}+15+16x^{2}-64x+60.
Vamos listar os dados relevantes e o que se pede:
  • A expressão é um polinômio em x de grau 6.
  • Há termos aparentemente desordenados; posso somar constantes iguais.
  • A tarefa é “fatorar”: extrair fatores comuns e reescrever o polinômio como produto (ou produto somado a termo simples, se for o caso).

    (Neste passo não resolvo nada ainda, apenas organizei o que temos.)

Passo 2

Primeiro vamos organizar o polinômio somando termos constantes iguais e colocando em ordem conveniente. Somei 15 e 60:
15+60=75.
Portanto a expressão fica
4x^{6}-16x^{5}+16x^{2}-64x+75.

Passo 3

Agora vou tentar fatorar por agrupamento: observe os pares de termos que têm fatores em comum:
4x^{6}-16x^{5}\quad\text{e}\quad 16x^{2}-64x.
Em ambos aparece um fator com (x-4) quando fatoramos parcialmente. Fatoremos cada par:
4x^{6}-16x^{5}=4x^{5}(x-4),
16x^{2}-64x=16x(x-4).
Assim os quatro primeiros termos podem ser reescritos juntos como
4x^{5}(x-4)+16x(x-4)=(x-4)\bigl(4x^{5}+16x\bigr).

Passo 4

No fator \bigl(4x^{5}+16x\bigr) há um fator comum 4x. Fatore-o:
4x^{5}+16x=4x(x^{4}+4).
Substituindo de volta, os termos factorizados dão
(x-4)\cdot 4x(x^{4}+4)=4x(x-4)(x^{4}+4).
Lembre-se que restava o termo constante +75 que não entrou nesse agrupamento. Logo o polinômio original pode ser reescrito como
4x^{6}-16x^{5}+16x^{2}-64x+75 = 4x(x-4)\bigl(x^{4}+4\bigr)+75.

Passo 5

Agora vou mostrar como fatorar x^{4}+4 (isso é útil porque deixa explícitos fatores polinomiais). Use a identidade de diferença de quadrados aplicando completar quadrado:
x^{4}+4 = x^{4}+4x^{2}+4 - 4x^{2} = (x^{2}+2)^{2} - (2x)^{2}.
Isso é uma diferença de quadrados (A^{2}-B^{2})=(A-B)(A+B) com A=x^{2}+2 e B=2x. Assim
x^{4}+4 = (x^{2}+2-2x)(x^{2}+2+2x).
Reorganizando os termos dentro de cada fator:
x^{4}+4 = (x^{2}-2x+2)(x^{2}+2x+2).

Passo 6

Substituindo essa fatoração em \;4x(x-4)(x^{4}+4)+75\; obtemos
4x^{6}-16x^{5}+16x^{2}-64x+75 = 4x(x-4)(x^{2}-2x+2)(x^{2}+2x+2) + 75.
Isto mostra explicitamente os fatores que aparecem por agrupamento e a fatoração de x^{4}+4. Note que o termo +75 permanece somado — não foi possível (por agrupamento simples) transformá-lo em produto sem introduzir coeficientes racionais/complexos diferentes; portanto esta é uma forma fatorada parcial (extração de fatores comuns e fatoração de um subpolinômio).

Resposta

4x(x-4)(x^{2}-2x+2)(x^{2}+2x+2)+75

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