QUESTÃO:
VALOR
Calcule:
Calcule:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a expressão
Informações dadas e pontos importantes identificados (apenas listando o que está no enunciado):
Passo 2
Calcular a primeira parcela
.
Primeiro lembrete útil: para logaritmos naturais vale a propriedade
onde
é o logaritmo natural e
. Aqui
, logo
Sabe-se que
(pois
é a base do logaritmo natural), portanto
Passo 3
Calcular a segunda parcela
.
Primeiro observe que
é a escrita decimal para
. A propriedade dos logaritmos na base
é
Logo
Passo 4
Interpretar a base
da terceira parcela.
Mostrarei por um truque simples que
. Seja
. Então
. Subtraindo,
Portanto a terceira parcela é
.
Passo 5
Calcular
usando a mudança de base.
A fórmula de mudança de base é
Aplicando com
e
:
Note que
. Também podemos decompor
como
, portanto
Substituindo:
Fatorando
no numerador:
Observação:
e
são constantes; deixar nesta forma é uma expressão exata.
Passo 6
Juntar as três parcelas e simplificar a expressão final.
Temos:
O sinal menos fora do último log inverte o sinal, portanto
Expandindo o numerador e reorganizando dá para escrever de forma mais compacta. Note que
, e uma forma alternativa é usar
. Vou transformar para uma combinação racional mais clara: escrevendo os termos racionais em denomínio comum
,
Mas ao combinar corretamente com o termo restante obtemos uma forma mais simples:
Essa é uma expressão exata e final. Se for desejável uma aproximação decimal (útil para conferência), usamos valores aproximados
e
, o que dá