5^{\mathrm{a}} QUESTÃO: \quad( VALOR =0,5)
Calcule:
\ln \sqrt[3]{e}+\log 0,0001-\log _{0,111 \ldots} 27000

Passo 1

O enunciado pede para calcular a expressão
\ln \sqrt[3]{e}+\log 0,0001-\log_{0,111\ldots}27000.
Informações dadas e pontos importantes identificados (apenas listando o que está no enunciado):
\text{1ª parcela: }\ln \sqrt[3]{e};ª
\text{2ª parcela: }\log 0,0001 \quad\text{(a notação usual sem base indica logaritmo decimal, base }10\text{)};ªçã
\text{3ª parcela: }\log_{0,111\ldots}27000 \quad\text{(a base é }0{,}111\ldots\text{, número decimal repetido).}ªéú

Passo 2

Calcular a primeira parcela \ln \sqrt[3]{e}.
Primeiro lembrete útil: para logaritmos naturais vale a propriedade
\ln(a^b)=b\ln a,
onde \ln é o logaritmo natural e a>0. Aqui \sqrt[3]{e}=e^{1/3}, logo
\ln \sqrt[3]{e}=\ln\bigl(e^{1/3}\bigr)=\tfrac{1}{3}\ln e.
Sabe-se que \ln e=1 (pois e é a base do logaritmo natural), portanto
\ln \sqrt[3]{e}=\tfrac{1}{3}.

Passo 3

Calcular a segunda parcela \log 0,0001.
Primeiro observe que 0{,}0001 é a escrita decimal para 10^{-4}. A propriedade dos logaritmos na base 10 é
\log(10^k)=k.
Logo
\log 0,0001=\log(10^{-4})=-4.

Passo 4

Interpretar a base 0{,}111\ldots da terceira parcela.
Mostrarei por um truque simples que 0{,}111\ldots=\tfrac{1}{9}. Seja x=0{,}111\ldots. Então 10x=1{,}111\ldots. Subtraindo,
10x-x=1 \implies 9x=1 \implies x=\tfrac{1}{9}.
Portanto a terceira parcela é \log_{1/9}27000.

Passo 5

Calcular \log_{1/9}27000 usando a mudança de base.
A fórmula de mudança de base é
\log_a b=\dfrac{\ln b}{\ln a}\quad(a>0,\\ a\neq1).
Aplicando com a=\tfrac{1}{9} e b=27000:
\log_{1/9}27000=\dfrac{\ln 27000}{\ln(1/9)}.
Note que \ln(1/9)=-\ln 9=-2\ln 3. Também podemos decompor 27000 como 27000=27\cdot 1000=3^3\cdot 10^3, portanto
\ln 27000=\ln(3^3\cdot 10^3)=3\ln 3+3\ln 10.
Substituindo:
\log_{1/9}27000=\dfrac{3\ln 3+3\ln 10}{-2\ln 3} =-\dfrac{3\ln 3+3\ln 10}{2\ln 3}.
Fatorando 3 no numerador:
\log_{1/9}27000=-\dfrac{3(\ln 3+\ln 10)}{2\ln 3}.
Observação: \ln 10 e \ln 3 são constantes; deixar nesta forma é uma expressão exata.

Passo 6

Juntar as três parcelas e simplificar a expressão final.
Temos:
\ln \sqrt[3]{e}+\log 0,0001-\log_{1/9}27000 =\tfrac{1}{3}+(-4)-\left(-\dfrac{3(\ln 3+\ln 10)}{2\ln 3}\right).
O sinal menos fora do último log inverte o sinal, portanto
=\tfrac{1}{3}-4+\dfrac{3(\ln 3+\ln 10)}{2\ln 3}.
Expandindo o numerador e reorganizando dá para escrever de forma mais compacta. Note que \ln 3+\ln 10=\ln 3 + \ln 10, e uma forma alternativa é usar \dfrac{\ln 10}{\ln 3}. Vou transformar para uma combinação racional mais clara: escrevendo os termos racionais em denomínio comum 6,
\tfrac{1}{3}-4=\tfrac{2}{6}-\tfrac{24}{6}=-\tfrac{22}{6}=-\tfrac{11}{3}.
Mas ao combinar corretamente com o termo restante obtemos uma forma mais simples:
\tfrac{1}{3}-4+\dfrac{3(\ln 3+\ln 10)}{2\ln 3} =-\dfrac{13}{6}+\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{\ln 10}{\ln 3}.
Essa é uma expressão exata e final. Se for desejável uma aproximação decimal (útil para conferência), usamos valores aproximados \ln 10\approx 2{,}302585093 e \ln 3\approx 1{,}098612289, o que dá
-\dfrac{13}{6}+\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{\ln 10}{\ln 3}\approx 0{,}9771882448.

Resposta

-\dfrac{13}{6}+\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{\ln 10}{\ln 3}
\approx 0{,}9771882448

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