\mathbf{1}^{\text {a }} QUESTÃO: ( VALOR =\mathbf{2 , 0} )
Fatore:
9 x^{2}-15 x+6

Passo 1

O enunciado pede para fatorar o polinômio dado. A expressão fornecida é
9x^{2}-15x+6
Queremos escrever essa expressão como um produto de fatores polinomiais mais simples.

Passo 2

Primeiro passo usual: procurar fator comum em todos os termos. Um fator comum é um número ou expressão que divide todos os coeficientes e termos. Aqui os coeficientes são 9, -15 e 6. O máximo divisor comum é 3. Fatorando 3 obtemos
9x^{2}-15x+6 = 3\bigl(3x^{2}-5x+2\bigr).
Explicação didática: dividir cada termo por 3 significa 9x^{2}\div 3 = 3x^{2}, -15x\div 3 = -5x, 6\div 3 = 2. Exemplo pequeno para fixar: 6x+9 = 3(2x+3).

Passo 3

Agora precisamos fatorar a quadrática dentro do parêntese:
3x^{2}-5x+2.
Método escolhido: método do produto-soma (também chamado de decomposição do termo do meio). Para uma quadrática \displaystyle ax^{2}+bx+c procuramos dois números m e n tais que
m\cdot n = a\cdot c
e
m + n = b.
Aqui a=3, b=-5, c=2. Então calculamos a\cdot c = 3\cdot 2 = 6. Precisamos de dois números cuja multiplicação dê 6 e cuja soma dê -5.

Passo 4

Procurando pares que multiplicam 6: 1 e 6, 2 e 3. Para obter soma -5 usamos sinais negativos: -2 e -3 multiplicam (-2)\cdot(-3)=6 e somam -2+(-3)=-5. Então decomponho o termo do meio -5x em -2x-3x:
3x^{2}-5x+2 = 3x^{2}-2x-3x+2.

Passo 5

Agora uso fatoração por agrupamento: agrupo os dois primeiros termos e os dois últimos termos e fatoro cada grupo:
3x^{2}-2x-3x+2 = x(3x-2) -1(3x-2).
Repare que em ambos os grupos apareceu o fator comum (3x-2), então fatorando esse binômio:
x(3x-2) -1(3x-2) = (3x-2)(x-1).
Portanto a quadrática fatorada é (3x-2)(x-1).

Passo 6

Voltando ao fator comum 3 que tiramos no Passo 2, a fatoração completa do polinômio original é
9x^{2}-15x+6 = 3(3x-2)(x-1).
Podemos checar rapidamente expandindo: (3x-2)(x-1)=3x^{2}-5x+2 e multiplicando por 3 retorna 9x^{2}-15x+6, então está correto.

Resposta

3(3x-2)(x-1)

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