QUESTÃO: ( VALOR
)
Fatore:
Fatore:
Passo 1
O enunciado pede para fatorar o polinômio
Informações dadas: os coeficientes são
(do termo
),
(do termo
) e
(termo independente). A pergunta é: escrever esse polinômio como um produto de fatores (fatores lineares e/ou constantes), isto é, encontrar sua fatoração.
Passo 2
Primeiro passo prático: tirar um fator comum que simplifique a escrita. Observamos que não há um inteiro maior que
que divida todos os coeficientes
,
e
. Mas é conveniente tirar um sinal negativo para deixar o coeficiente principal positivo. Então fazemos:
Aqui eu apenas extraí o fator
. Isso facilita trabalhar com um polinômio cujo termo quadrático tem sinal positivo.
Passo 3
Agora vamos analisar a possibilidade de fatorar o polinômio interno
. Uma maneira direta de ver se fatora com coeficientes racionais (inteiros) é calcular o discriminante da equação quadrática associada. Para um polinômio
o discriminante é
onde
,
e
são os coeficientes. No nosso caso
,
e
. Então
Calculemos passo a passo:
portanto
Como
não é um quadrado perfeito (veja que
e
não é quadrado), o polinômio
não fatorará em fatores lineares com coeficientes racionais; as raízes serão irracionais. Vamos encontrá-las para poder escrever a fatoração em termos reais.
Passo 4
Usamos a fórmula quadrática para achar as raízes de
. A fórmula diz que as raízes são
onde
,
e
. Substituindo,
Agora simplificamos
. Note que
então
Voltando à fórmula:
Dividindo numerador e denominador por
para simplificar:
Portanto as duas raízes são
Passo 5
Relação entre raízes e fatoração: para um polinômio quadrático
com raízes
e
vale
No nosso caso
e as raízes são
e
encontradas no passo anterior. Assim podemos escrever:
Lembra que no Passo 2 extraímos um fator
, então voltando à expressão original teremos a combinação desse
com a fatoração acima — a forma final ficará na seção de resposta.
Passo 6
Como verificação alternativa (útil para a prova): podemos também completar o quadrado em
para transformar em diferença de quadrados. Começando:
Agora complete o quadrado dentro do parêntese:
logo
Escrevemos isso como diferença de quadrados:
Essa fatoração é equivalente à apresentada no Passo 5 (só que com os fatores escritos de outra forma) e confirma que a fatoração envolve
.