\mathbf{1}^{\text {a }} QUESTÃO: ( VALOR =\mathbf{2 , 0} )
Fatore:
-2 x^{2}+28 x-49

Passo 1

O enunciado pede para fatorar o polinômio
-2x^{2}+28x-49.
Informações dadas: os coeficientes são -2 (do termo x^{2}), 28 (do termo x) e -49 (termo independente). A pergunta é: escrever esse polinômio como um produto de fatores (fatores lineares e/ou constantes), isto é, encontrar sua fatoração.

Passo 2

Primeiro passo prático: tirar um fator comum que simplifique a escrita. Observamos que não há um inteiro maior que 1 que divida todos os coeficientes -2, 28 e -49. Mas é conveniente tirar um sinal negativo para deixar o coeficiente principal positivo. Então fazemos:
-2x^{2}+28x-49 = -\bigl(2x^{2}-28x+49\bigr).
Aqui eu apenas extraí o fator -1. Isso facilita trabalhar com um polinômio cujo termo quadrático tem sinal positivo.

Passo 3

Agora vamos analisar a possibilidade de fatorar o polinômio interno 2x^{2}-28x+49. Uma maneira direta de ver se fatora com coeficientes racionais (inteiros) é calcular o discriminante da equação quadrática associada. Para um polinômio ax^{2}+bx+c o discriminante é
\Delta = b^{2}-4ac,
onde a, b e c são os coeficientes. No nosso caso a=2, b=-28 e c=49. Então
\Delta = (-28)^{2}-4\cdot 2\cdot 49.
Calculemos passo a passo:
(-28)^{2}=784,
4\cdot 2\cdot 49 = 8\cdot 49 = 392,
portanto
\Delta = 784-392 = 392.
Como \Delta não é um quadrado perfeito (veja que 392=49\cdot 8 e 8 não é quadrado), o polinômio 2x^{2}-28x+49 não fatorará em fatores lineares com coeficientes racionais; as raízes serão irracionais. Vamos encontrá-las para poder escrever a fatoração em termos reais.

Passo 4

Usamos a fórmula quadrática para achar as raízes de 2x^{2}-28x+49=0. A fórmula diz que as raízes são
x = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a},
onde a=2, b=-28 e \Delta=392. Substituindo,
x = \frac{-(-28)\pm\sqrt{392}}{2\cdot 2} = \frac{28\pm\sqrt{392}}{4}.
Agora simplificamos \sqrt{392}. Note que
392 = 49\cdot 8 = 7^{2}\cdot 8,
então
\sqrt{392} = 7\sqrt{8} = 7\cdot 2\sqrt{2} = 14\sqrt{2}.
Voltando à fórmula:
x = \frac{28\pm 14\sqrt{2}}{4}.
Dividindo numerador e denominador por 2 para simplificar:
x = \frac{14\pm 7\sqrt{2}}{2} = 7 \pm \frac{7}{2}\sqrt{2}.
Portanto as duas raízes são
x_{1} = 7 + \frac{7}{2}\sqrt{2}, \qquad x_{2} = 7 - \frac{7}{2}\sqrt{2}.

Passo 5

Relação entre raízes e fatoração: para um polinômio quadrático ax^{2}+bx+c com raízes r_{1} e r_{2} vale
ax^{2}+bx+c = a\bigl(x-r_{1}\bigr)\bigl(x-r_{2}\bigr).
No nosso caso a=2 e as raízes são x_{1} e x_{2} encontradas no passo anterior. Assim podemos escrever:
2x^{2}-28x+49 = 2\Bigl(x-\Bigl(7 + \frac{7}{2}\sqrt{2}\Bigr)\Bigr)\Bigl(x-\Bigl(7 - \frac{7}{2}\sqrt{2}\Bigr)\Bigr).
Lembra que no Passo 2 extraímos um fator -1, então voltando à expressão original teremos a combinação desse -1 com a fatoração acima — a forma final ficará na seção de resposta.

Passo 6

Como verificação alternativa (útil para a prova): podemos também completar o quadrado em 2x^{2}-28x+49 para transformar em diferença de quadrados. Começando:
2x^{2}-28x+49 = 2\bigl(x^{2}-14x\bigr)+49.
Agora complete o quadrado dentro do parêntese:
x^{2}-14x = (x-7)^{2}-49,
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2\bigl(x^{2}-14x\bigr)+49 = 2\bigl((x-7)^{2}-49\bigr)+49 = 2(x-7)^{2}-98+49 = 2(x-7)^{2}-49.
Escrevemos isso como diferença de quadrados:
2(x-7)^{2}-49 = \bigl(\sqrt{2}\,(x-7)\bigr)^{2}-7^{2} = \bigl(\sqrt{2}\,(x-7)-7\bigr)\bigl(\sqrt{2}\,(x-7)+7\bigr).
Essa fatoração é equivalente à apresentada no Passo 5 (só que com os fatores escritos de outra forma) e confirma que a fatoração envolve \sqrt{2}.

Resposta

-2\Bigl(x-\Bigl(7+\tfrac{7}{2}\sqrt{2}\Bigr)\Bigr)\Bigl(x-\Bigl(7-\tfrac{7}{2}\sqrt{2}\Bigr)\Bigr)

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