Uma viga biapoiada, submetida a duas forças concentradas, apresenta a seção transversal mostrada. Para a seção transversal calcule: a) as coordenadas do centroide; b) o momento de inércia em torno dos eixos que passam pelo centroide.
[Respostas:

Passo 1

O enunciado pede para uma seção em “U” (espessura constante de 10\rm\\ mm, largura do fundo 50\rm\\ mm, altura total 60\rm\\ mm, sendo 10\rm\\ mm do fundo e 50\rm\\ mm das pernas)
a) encontrar as coordenadas do centroide da seção
b) calcular os momentos de inércia em torno dos eixos que passam por esse centroide
Conteúdo: centroides de áreas compostas e momento de inércia usando o teorema dos eixos paralelos.

Passo 2

Dividimos a seção em três retângulos:
– Fundo: largura b_1=50\rm\\ mm, altura h_1=10\rm\\ mm.
– Perna esquerda e perna direita (idênticas): largura b_2=10\rm\\ mm, altura h_2=50\rm\\ mm.
Referência y=0 no bordo inferior do fundo.
– Área do fundo:
A_1 = b_1\,h_1 = 50\cdot10 = 500\rm\\ mm^2,
centroide em
y_{1} = \frac{h_1}{2} = 5\rm\\ mm.
– Área de cada perna:
A_2 = b_2\,h_2 = 10\cdot50 = 500\rm\\ mm^2,
centroide em
y_{2} = h_1 + \frac{h_2}{2} = 10 + 25 = 35\rm\\ mm.

Passo 3

Calculamos a ordenada do centroide global \bar y por
\bar y \;=\;\frac{\sum A_i\,y_i}{\sum A_i} =\frac{A_1\,y_1+2\,A_2\,y_2}{A_1+2\,A_2} =\frac{500\cdot5 +2\cdot500\cdot35}{500+2\cdot500} =\frac{2 500 +35 000}{1 500} =25\rm\\ mm.
Como a seção é simétrica em x, tem-se \bar x = 25\rm\\ mm (meio de 0 a 50,mm).

Passo 4

Momento de inércia em torno do eixo horizontal x que passa em \bar y:
– Fundo ( I_{x1} em seu centro + paralelo):
I_{x1}^{\rm cent} = \frac{b_1\,h_1^3}{12} = \frac{50\cdot10^3}{12}\approx4 166{,}7\rm\\ mm^4, \quad d_1=|\bar y - y_1|=20\rm\\ mm,
I_{x1} = I_{x1}^{\rm cent} + A_1\,d_1^2 = 4 166{,}7 + 500\cdot20^2 =204 166{,}7\rm\\ mm^4.
– Cada perna ( I_{x2} em seu centro + paralelo):
I_{x2}^{\rm cent} = \frac{b_2\,h_2^3}{12} = \frac{10\cdot50^3}{12}\approx104 166{,}7\rm\\ mm^4, \quad d_2=|\bar y - y_2|=10\rm\\ mm,
I_{x2} = I_{x2}^{\rm cent} + A_2\,d_2^2 =104 166{,}7 +500\cdot10^2 =154 166{,}7\rm\\ mm^4.
Como há duas pernas:
I_x = I_{x1} + 2\,I_{x2} =204 166{,}7 +2\cdot154 166{,}7 =512 500\rm\\ mm^4.

Passo 5

Momento de inércia em torno do eixo vertical y que passa em \bar x:
– Fundo (o eixo vertical passa pelo meio do comprimento, sem deslocamento):
I_{y1} = \frac{h_1\,b_1^3}{12} = \frac{10\cdot50^3}{12}\approx104 166{,}7\rm\\ mm^4.
– Cada perna (paralela + deslocamento):
I_{y2}^{\rm cent} = \frac{h_2\,b_2^3}{12} = \frac{50\cdot10^3}{12}\approx4 166{,}7\rm\\ mm^4, \quad d_2=|\bar x - x_{\rm cent\,da perna}|=20\rm\\ mm,
I_{y2} = I_{y2}^{\rm cent} + A_2\,d_2^2 =4 166{,}7 +500\cdot20^2 =204 166{,}7\rm\\ mm^4.
Somando as duas pernas:
I_y = I_{y1} + 2\,I_{y2} =104 166{,}7 +2\cdot204 166{,}7 =512 500\rm\\ mm^4.

Resposta

Coordenadas do centroide (origem em baixo à esquerda da seção): \displaystyle \bar x = 25\rm\\ mm,\quad \bar y = 25\rm\\ mm. Momentos de inércia no centroide: \displaystyle I_x = 5{,}125\times10^5\rm\\ mm^4,\quad I_y = 5{,}125\times10^5\rm\\ mm^4.

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