Uma viga engastada, submetida a um momento M, apresenta a seção transversal mostrada. Para a seção transversal calcule: a) as coordenadas do centroide; b) o momento de inércia em torno dos eixos que passam pelo centroide.
[Respostas:

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a seção composta pela flange retangular de largura 40\,\text{mm} e espessura 15\,\text{mm} mais o alma (web) retangular de largura 20\,\text{mm} e altura d-15=30-15=15\,\text{mm}:
  1. As coordenadas do centroide (\bar x,\bar y).
  2. Os momentos de inércia de área em torno dos eixos x e y que passam pelo centroide.
Para resolver usaremos
  • o método de áreas compostas,
  • o teorema dos eixos paralelos,
  • as fórmulas de inércia para retângulo:
I_{x,\text{ret}}=\frac{b\,h^{3}}{12},\quad I_{y,\text{ret}}=\frac{h\,b^{3}}{12}.

Passo 2

Calcular áreas e centros de massa de cada peça, tomando como origem do eixo y o topo da flange (positivo para baixo) e o eixo x no meio da largura da seção (positiva para a direita).
Flange (peça 1):
A_1 = 40\cdot15 = 600\;\text{mm}^2,\quad y_1 = \frac{15}{2} = 7{,}5\;\text{mm}.
Web (peça 2):
A_2 = 20\cdot15 = 300\;\text{mm}^2,\quad y_2 = 15 + \frac{15}{2} = 22{,}5\;\text{mm}.

Passo 3

Calcular a ordenada do centroide da seção composta usando
\bar y = \frac{A_1\,y_1 + A_2\,y_2}{A_1 + A_2} = \frac{600\cdot7{,}5 + 300\cdot22{,}5}{600+300} = \frac{4500 + 6750}{900} = 12{,}5\;\text{mm}.
Como a seção é simétrica em x, temos \bar x = 20\,\text{mm} (metade da largura total de 40\,\text{mm}).

Passo 4

Calcular I_{x} (momento de inércia em torno do eixo horizontal que passa por \bar y).
Para cada peça,
I_{x,i} = I_{x,i}^{\text{c}} + A_i\,d_i^{2},
onde I_{x,i}^{\text{c}} é a inércia em seu próprio centroide e d_i é a distância entre o centroide da peça e \bar y.
Peça 1 (flange):
I_{x,1}^{\text{c}} = \frac{40\cdot15^{3}}{12} = 11250\;\text{mm}^4,\quad d_1 = \bigl|\bar y - y_1\bigr| = 12{,}5 -7{,}5 = 5\;\text{mm},
I_{x,1} = 11250 + 600\cdot5^{2} = 11250 + 15000 = 26250\;\text{mm}^4.
Peça 2 (web):
I_{x,2}^{\text{c}} = \frac{20\cdot15^{3}}{12} = 5625\;\text{mm}^4,\quad d_2 = \bigl|22{,}5 -12{,}5\bigr| = 10\;\text{mm},
I_{x,2} = 5625 + 300\cdot10^{2} = 5625 + 30000 = 35625\;\text{mm}^4.
Somando,
I_x = I_{x,1} + I_{x,2} = 26250 + 35625 = 61875\;\text{mm}^4.

Passo 5

Calcular I_{y} (momento de inércia em torno do eixo vertical que passa por \bar x).
Como ambas as peças são centradas em x=20\,\text{mm}, não há deslocamento paralelo e basta somar as inercias centrais:
Peça 1 (flange):
I_{y,1} = \frac{15\cdot40^{3}}{12} = 80000\;\text{mm}^4.
Peça 2 (web):
I_{y,2} = \frac{15\cdot20^{3}}{12} = 10000\;\text{mm}^4.
I_y = I_{y,1} + I_{y,2} = 80000 + 10000 = 90000\;\text{mm}^4.

Resposta

a) \bar x = 20\,\text{mm}, \bar y = 12{,}5\,\text{mm} abaixo do topo da flange.
b) I_x = 6{,}1875\times10^{4}\,\text{mm}^4 e I_y = 9{,}0\times10^{4}\,\text{mm}^4.

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