(11.) A temperatura de una chapa plana é dada por
. A partir do ponto
, determine:
(a) O gradiente da temperatura;
(b) A direção e sentido em que a temperatura cresce o mais rápido possível e qual a taxa de crescimento?
(c) A direção e sentido em que a temperatura decresce o mais rápido possível e qual a taxa de decrescimento?
(d)
, (onde
faz um ângulo de
com o semi-eixo
positivo)
(a) O gradiente da temperatura;
(b) A direção e sentido em que a temperatura cresce o mais rápido possível e qual a taxa de crescimento?
(c) A direção e sentido em que a temperatura decresce o mais rápido possível e qual a taxa de decrescimento?
(d)
Passo 1
O enunciado nos dá a temperatura
definida num plano e pede, no ponto
, (a) o gradiente, (b) direção e sentido de máximo crescimento e taxa, (c) direção e sentido de máximo decrescimento e taxa, e (d) a derivada direcional numa certa direção
. Vamos usar cálculo de derivadas parciais, gradiente e a fórmula da derivada direcional.
Passo 2
Para obter o gradiente precisamos das derivadas parciais. Como
temos a fórmula geral
Passo 3
Avaliando em
,
Isso responde o item (a).
Passo 4
O gradiente aponta na direção de máximo crescimento. A direção unitária é
A taxa de crescimento máxima é o módulo do gradiente:
Isso responde o item (b).
Passo 5
O máximo decrescimento ocorre na direção oposta ao gradiente. A direção unitária é
e a taxa de decrescimento é
. Isso responde o item (c).
Passo 6
Para a derivada direcional em
que faz
com o eixo
positivo, usamos
e
Isso responde o item (d).
Resposta
(a)
(b) direção , taxa
(c) direção , taxa
(d)
(b) direção
(c) direção
(d)