(11.) A temperatura de una chapa plana é dada por T(x, y)=x^{2}+y^{2}. A partir do ponto P(3,4), determine:
(a) O gradiente da temperatura;
(b) A direção e sentido em que a temperatura cresce o mais rápido possível e qual a taxa de crescimento?
(c) A direção e sentido em que a temperatura decresce o mais rápido possível e qual a taxa de decrescimento?
(d) D_{\vec{u}} T(3,4)=\frac{\partial T}{\partial \vec{u}}(3,4), (onde \vec{u} faz um ângulo de 30^{\circ} com o semi-eixo x positivo)

Passo 1

O enunciado nos dá a temperatura T(x,y)=x^2+y^2 definida num plano e pede, no ponto P(3,4), (a) o gradiente, (b) direção e sentido de máximo crescimento e taxa, (c) direção e sentido de máximo decrescimento e taxa, e (d) a derivada direcional numa certa direção \vec{u}. Vamos usar cálculo de derivadas parciais, gradiente e a fórmula da derivada direcional.

Passo 2

Para obter o gradiente precisamos das derivadas parciais. Como
\frac{\partial T}{\partial x}=2x \quad\text{e}\quad \frac{\partial T}{\partial y}=2y,
temos a fórmula geral
\nabla T(x,y) = \Bigl(2x,\,2y\Bigr).

Passo 3

Avaliando em P(3,4),
\nabla T(3,4) = \bigl(2\cdot3,\,2\cdot4\bigr) = (6,8).
Isso responde o item (a).

Passo 4

O gradiente aponta na direção de máximo crescimento. A direção unitária é
\vec v = \frac{\nabla T(3,4)}{\|\nabla T(3,4)\|} = \frac{(6,8)}{\sqrt{6^2+8^2}} = \Bigl(\tfrac{3}{5},\,\tfrac{4}{5}\Bigr).
A taxa de crescimento máxima é o módulo do gradiente:
\|\nabla T(3,4)\| = \sqrt{6^2+8^2} = 10.
Isso responde o item (b).

Passo 5

O máximo decrescimento ocorre na direção oposta ao gradiente. A direção unitária é
-\vec v = \Bigl(-\tfrac{3}{5},\,-\tfrac{4}{5}\Bigr),
e a taxa de decrescimento é -\|\nabla T(3,4)\| = -10. Isso responde o item (c).

Passo 6

Para a derivada direcional em \vec u que faz 30^\circ com o eixo x positivo, usamos
\vec u = (\cos30^\circ,\sin30^\circ) = \Bigl(\tfrac{\sqrt3}{2},\,\tfrac12\Bigr)
e
D_{\vec u}T(3,4) = \nabla T(3,4)\cdot \vec u = (6,8)\cdot\Bigl(\tfrac{\sqrt3}{2},\,\tfrac12\Bigr) = 6\cdot\tfrac{\sqrt3}{2} + 8\cdot\tfrac12 = 3\sqrt3 + 4.
Isso responde o item (d).

Resposta

(a) \nabla T(3,4)=(6,8)
(b) direção \bigl(\tfrac{3}{5},\tfrac{4}{5}\bigr), taxa 10
(c) direção \bigl(-\tfrac{3}{5},-\tfrac{4}{5}\bigr), taxa -10
(d) D_{\vec u}T(3,4)=3\sqrt3+4

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