\mathcal{P} 2. Considerando uma mudança nas condições de contorno em torno do eixo de coordenadas,
\left\{\begin{array}{l} f(-L, t)=0 \\\ f(L, t)=0 \\\ f(x, 0)= \begin{cases}L+x, & x \leq 0 \\\ L-x, & x \geq 0\end{cases} \end{array}\right.
o que mudaria na solução da equação de onda anterior?

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Condições de contorno: \;f(-L,t)=0\) e \(\;f(L,t)=0\). - Condição inicial de deslocamento (no tempo \(t=0\)): \[f(x,0)=\begin{cases}L+x, & x\le 0,\\[4pt] L-x, & x\ge 0.\end{cases}
  • Pergunta: “o que mudaria na solução da equação de onda anterior?” (ou seja, qual é a solução da equação de onda com essas novas condições de contorno e essa condição inicial).
  • Observação necessária (assumo, como no problema anterior): velocidade inicial nula, isto é (;f_t(x,0)=0]. Não vou pedir informação adicional — sigo essa suposição porque é a hipótese padrão quando não se dá velocidade inicial.]

Passo 2

Entendimento da função inicial e simetria — por que isso simplifica o problema
  • Vamos olhar a forma de \;f(x,0). Para x\ge0 temos f(x,0)=L-x. Para x\le0 temos f(x,0)=L+x.
  • Verificamos a paridade: para x>0,
f(-x,0)=L+(-x)=L-x=f(x,0),
logo \;f(x,0) é uma função par (simétrica em relação a x=0).
  • Se a condição inicial é par e as condições de contorno em -L e L são iguais ( 0 em ambos os pontos), a solução da equação de onda permanece par para todo t. Consequência prática: podemos resolver o problema apenas no semi-intervalo [0,L], impondo as condições equivalentes no semi-intervalo.
  • Para uma solução par u(x,t)=u(-x,t) tem-se derivada espacial nula no centro:
u_x(0,t)=0,
ou seja, condição de Neumann em x=0. Em x=L mantém-se a condição de Dirichlet u(L,t)=0.
  • Portanto substituímos o problema no intervalo [-L,L] por um problema equivalente em [0,L] com:
u_x(0,t)=0,\qquad u(L,t)=0,\qquad u(x,0)=L-x\\ (0\le x\le L),\qquad u_t(x,0)=0.

Passo 3

Montando a solução por séries (separação de variáveis e autofunções)
  • A equação de onda homogênea unidimensional é \;u_{tt}=c^2 u_{xx}. Pela separação de variáveis procuramos modos do tipo X(x)T(t).
  • O problema espacial para X(x) em [0,L] fica
X''(x)+\lambda X(x)=0,
com as condições X'(0)=0 (Neumann em 0) e X(L)=0 (Dirichlet em L).
  • Solução não-trivial dá autovalores \lambda=k^2 com k tais que \cos(kL)=0 (porque as soluções com X(x)=\cos(kx) satisfazem X'(0)=0). Logo
k_n L = \frac{(2n+1)\pi}{2},\qquad n=0,1,2,\dots
e
k_n=\frac{(2n+1)\pi}{2L}.
  • As autofunções correspondentes (normalizadas por conveniência) são
X_n(x)=\cos(k_n x)=\cos\!\bigg(\frac{(2n+1)\pi}{2L}x\bigg),\qquad n=0,1,2,\dots
  • O dependente no tempo para cada modo é combinação de cosseno e seno com frequência \omega_n=c k_n. Como assumimos velocidade inicial nula, apenas os termos em \cos(\omega_n t) aparecerão.

Passo 4

Forma geral da solução por somatório de modos
  • A solução (no semi-intervalo [0,L]; e que por simetria estende-se para [-L,L] como função par) tem a forma
u(x,t)=\sum_{n=0}^{\infty} A_n \cos(c k_n t)\, \cos(k_n x),
onde \;k_n=\dfrac{(2n+1)\pi}{2L} e os coeficientes A_n são determinados a partir da condição inicial u(x,0)=L-x em [0,L].
  • Para encontrar A_n usamos ortogonalidade das funções \cos(k_n x) em [0,L]. A norma útil é
\int_0^L \cos^2(k_n x)\,dx=\frac{L}{2}.
  • Portanto o coeficiente A_n é dado por
A_n=\frac{2}{L}\int_0^L (L-x)\cos(k_n x)\,dx.

Passo 5

Cálculo explícito do coeficiente A_n — integral passo a passo
  • Denote k=k_n. Calculemos
I=\int_0^L (L-x)\cos(kx)\,dx = L\int_0^L \cos(kx)\,dx - \int_0^L x\cos(kx)\,dx.
  • Primeiro termo:
\int_0^L \cos(kx)\,dx = \frac{\sin(kL)}{k}.
Como kL=(2n+1)\dfrac{\pi}{2}, temos \sin(kL)=(-1)^n. Assim o primeiro termo é \dfrac{L}{k}(-1)^n.
  • Segundo termo: fazemos integração por partes. Com u=x,\\ dv=\cos(kx)dx obtemos
\int_0^L x\cos(kx)\,dx=\left.\frac{x\sin(kx)}{k}\right|_0^L - \int_0^L \frac{\sin(kx)}{k}\,dx =\frac{L\sin(kL)}{k}+\frac{1}{k^2}\big(\cos(kL)-1\big).
  • Substituindo na expressão de I,
I=L\cdot\frac{\sin(kL)}{k}-\left[\frac{L\sin(kL)}{k}+\frac{1}{k^2}\big(\cos(kL)-1\big)\right] =\frac{1}{k^2}\big(1-\cos(kL)\big).
  • Mas \cos(kL)=\cos\!\big((2n+1)\tfrac{\pi}{2}\big)=0. Logo
I=\frac{1}{k^2}.
  • Portanto
A_n=\frac{2}{L}\cdot\frac{1}{k^2}=\frac{2}{L}\cdot\frac{1}{\big(\dfrac{(2n+1)\pi}{2L}\big)^2} =\frac{8L}{(2n+1)^2\pi^2}.

Passo 6

Escrevendo a solução final e interpretando o que mudou
  • Substituindo A_n e k_n na soma obtemos a solução (válida para 0\le x\le L; estende-se para -L\le x\le0 por paridade):
u(x,t)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{8L}{(2n+1)^2\pi^2}\cos\!\bigg(c\frac{(2n+1)\pi}{2L}t\bigg)\cos\!\bigg(\frac{(2n+1)\pi}{2L}x\bigg).
  • O que mudou, em palavras simples:
    • Antes (na formulação original) você poderia ter trabalhado com autofunções e séries diferentes dependendo das condições de contorno e da paridade dos dados iniciais. Com as novas condições de contorno e com o deslocamento inicial par, o problema se reduz ao semi-intervalo [0,L] com Neumann em 0 e Dirichlet em L.
    • Os modos que aparecem são os modos de meia-onda com índice ímpar (os k_n=(2n+1)\pi/(2L)), e as frequências naturais são \omega_n=c k_n. Em particular, não aparecem os modos “seno puros” com nós em x=0; aparecem modos \cos(k_n x) com derivada nula em 0.
    • Os coeficientes A_n ficaram explícitos e decaem como (2n+1)^{-2}.

Resposta

u(x,t)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{8L}{(2n+1)^2\pi^2}\cos\!\bigg(c\frac{(2n+1)\pi}{2L}t\bigg)\cos\!\bigg(\frac{(2n+1)\pi}{2L}x\bigg).

Exercícios relacionados