o que mudaria na solução da equação de onda anterior?
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
Condições de contorno: \;f(-L,t)=0\) e \(\;f(L,t)=0\).
- Condição inicial de deslocamento (no tempo \(t=0\)):
\[f(x,0)=\begin{cases}L+x, & x\le 0,\\[4pt] L-x, & x\ge 0.\end{cases}
Pergunta: “o que mudaria na solução da equação de onda anterior?” (ou seja, qual é a solução da equação de onda com essas novas condições de contorno e essa condição inicial).
Observação necessária (assumo, como no problema anterior): velocidade inicial nula, isto é (;f_t(x,0)=0]. Não vou pedir informação adicional — sigo essa suposição porque é a hipótese padrão quando não se dá velocidade inicial.]
Passo 2
Entendimento da função inicial e simetria — por que isso simplifica o problema
Vamos olhar a forma de \;f(x,0). Para x\ge0 temos f(x,0)=L-x. Para x\le0 temos f(x,0)=L+x.
Verificamos a paridade: para x>0,
f(-x,0)=L+(-x)=L-x=f(x,0),
logo \;f(x,0) é uma função par (simétrica em relação a x=0).
Se a condição inicial é par e as condições de contorno em -L e L são iguais (0 em ambos os pontos), a solução da equação de onda permanece par para todo t. Consequência prática: podemos resolver o problema apenas no semi-intervalo [0,L], impondo as condições equivalentes no semi-intervalo.
Para uma solução par u(x,t)=u(-x,t) tem-se derivada espacial nula no centro:
u_x(0,t)=0,
ou seja, condição de Neumann em x=0. Em x=L mantém-se a condição de Dirichlet u(L,t)=0.
Portanto substituímos o problema no intervalo [-L,L] por um problema equivalente em [0,L] com:
O dependente no tempo para cada modo é combinação de cosseno e seno com frequência \omega_n=c k_n. Como assumimos velocidade inicial nula, apenas os termos em \cos(\omega_n t) aparecerão.
Passo 4
Forma geral da solução por somatório de modos
A solução (no semi-intervalo [0,L]; e que por simetria estende-se para [-L,L] como função par) tem a forma
Antes (na formulação original) você poderia ter trabalhado com autofunções e séries diferentes dependendo das condições de contorno e da paridade dos dados iniciais. Com as novas condições de contorno e com o deslocamento inicial par, o problema se reduz ao semi-intervalo [0,L] com Neumann em 0 e Dirichlet em L.
Os modos que aparecem são os modos de meia-onda com índice ímpar (os k_n=(2n+1)\pi/(2L)), e as frequências naturais são \omega_n=c k_n. Em particular, não aparecem os modos “seno puros” com nós em x=0; aparecem modos \cos(k_n x) com derivada nula em 0.
Os coeficientes A_n ficaram explícitos e decaem como (2n+1)^{-2}.