\mathcal{L}^{-1}\left\{\arctan \left(\frac{4}{s}\right)\right\}

Passo 1

O enunciado pede f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} para
F(s)=\arctan\!\bigl(\tfrac{4}{s}\bigr).
Para resolver, vamos usar a transformada de Laplace conhecida
\mathcal{L}\Bigl\{\frac{\sin(a t)}{t}\Bigr\}(s) =\int_{0}^{\infty}e^{-s t}\,\frac{\sin(a t)}{t}\,dt =\arctan\!\bigl(\tfrac{a}{s}\bigr).

Passo 2

Aplicando o resultado com a=4, obtemos
\mathcal{L}\Bigl\{\frac{\sin(4t)}{t}\Bigr\}(s) =\arctan\!\bigl(\tfrac{4}{s}\bigr) =F(s).
Isso mostra que F(s) é exatamente a transformada de \sin(4t)/t.

Passo 3

Portanto, a inversa de Laplace é
f(t)=\frac{\sin(4t)}{t}.

Resposta

\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\arctan\bigl(\tfrac{4}{s}\bigr)\Bigr\} =\frac{\sin(4t)}{t}.

Exercícios relacionados