1. \mathcal{L}\{\operatorname{sen}(a t)\}=\frac{a}{s^{2}+a^{2}}, s>0

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos calcular a transformada de Laplace da função \sin(a t). O conteúdo é a definição de transformada de Laplace
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-s t}f(t)\,dt,
e vamos usar integração por partes para avaliar o integral

Passo 2

Aplicando a definição à função f(t)=\sin(a t), obtemos
\mathcal{L}\{\sin(a t)\}(s) =\int_{0}^{\infty}e^{-s t}\sin(a t)\,dt.

Passo 3

Para avaliar \displaystyle\int_{0}^{\infty}e^{-s t}\sin(a t)\,dt, fazemos integração por partes escolhendo
u=\sin(a t),\quad dv=e^{-s t}dt
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du=a\cos(a t)\,dt,\quad v=-\frac{1}{s}e^{-s t}.
Assim,
\int_{0}^{\infty}e^{-s t}\sin(a t)\,dt =\Bigl[u\,v\Bigr]_{0}^{\infty}-\int_{0}^{\infty}v\,du =\Bigl[-\frac{1}{s}e^{-s t}\sin(a t)\Bigr]_{0}^{\infty} +\frac{a}{s}\int_{0}^{\infty}e^{-s t}\cos(a t)\,dt.
O termo de contorno vale zero para s>0, pois e^{-s t}\sin(a t)\to0 quando t\to\infty e é zero em t=0.

Passo 4

Fica então
\mathcal{L}\{\sin(a t)\}(s) =\frac{a}{s}\int_{0}^{\infty}e^{-s t}\cos(a t)\,dt.
Mas sabe-se (ou calcula-se por método semelhante) que
\int_{0}^{\infty}e^{-s t}\cos(a t)\,dt=\frac{s}{s^{2}+a^{2}}\quad(s>0).
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\mathcal{L}\{\sin(a t)\}(s) =\frac{a}{s}\cdot\frac{s}{s^{2}+a^{2}} =\frac{a}{s^{2}+a^{2}}.

Resposta

\mathcal{L}\{\sin(a t)\}(s)=\frac{a}{s^{2}+a^{2}},\quad s>0.

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