(a) Seja
e considere uma subdivisão do retângulo
em 16 retângulos menores, como no Exercício 17. Tome (
) como sendo o centro do
-ésimo retângulo e aproxime a integral dupla de
em
pela soma de Riemann resultante.
(b) Compare o resultado de (a) com o valor exato da integral.
(b) Compare o resultado de (a) com o valor exato da integral.
Passo 1
O enunciado pede para aproximar a integral dupla de
sobre o retângulo
usando uma soma de Riemann com 16 sub-retângulos iguais e pontos amostragem nos centros, e em seguida comparar com o valor exato da integral. O conteúdo é aproximação de integrais duplas por soma de Riemann e cálculo exato por integração iterada.
Passo 2
Dividimos cada lado de
em 4 partes iguais, de modo que cada sub-retângulo tem largura e altura iguais a
e, portanto, a área de cada sub-retângulo é
Os pontos centrais são
para
, ou seja
.
Passo 3
Calculamos a soma dos valores de
nesses 16 centros:
Como
e o mesmo vale para
, temos
Passo 4
A aproximação pela soma de Riemann é
Passo 5
Agora calculamos a integral exata por integração iterada:
Passo 6
Comparando, a soma de Riemann pelo centro deu
, exatamente igual ao valor da integral exata
. Isso ocorre porque
é afim em cada variável e a amostragem pelo ponto médio captura perfeitamente a média num retângulo.
Resposta
(a) A soma de Riemann pelo ponto médio vale
.
(b) O valor exato da integral também é , logo coincidem.
(b) O valor exato da integral também é