\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{e^{-2 s}}{s^{3}}\right\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada inversa de Laplace
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{e^{-2 s}}{s^{3}}\right\}.
Informações dadas:
  • A expressão no domínio de s é \dfrac{e^{-2 s}}{s^{3}}.
  • Não há outras restrições no enunciado (assumir t\ge0 e s com parte real positiva quando necessário).
    A pergunta clara é: qual função de t tem essa imagem pela transformada de Laplace?

Passo 2

Relembrando a definição e um par básico da transformada de Laplace (isso é útil para a inversão).
A transformada de Laplace de uma função f(t) é
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-s t}f(t)\,dt,
onde s é a variável complexa (mas aqui tratamos como variável real positiva para cálculo elementar). Um par bem conhecido é a transformada de potências de t: para inteiro não negativo n,
\mathcal{L}\{t^{n}\}(s)=\frac{n!}{s^{n+1}}.
Explicando: n! é o fatorial de n; a fórmula vem de integrar por partes ou do uso da função Gamma. Isso nos dá relações fáceis entre potências e potências de s.

Passo 3

Aplicando o par com n=2:
\mathcal{L}\{t^{2}\}(s)=\frac{2!}{s^{3}}=\frac{2}{s^{3}}.
Portanto, invertendo essa relação,
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s^{3}}\right\}=\frac{t^{2}}{2}.
Ou seja, a função cuja transformada é 1/s^{3} é t^{2}/2.

Passo 4

Agora precisamos tratar o fator exponencial e^{-2s}\). Para isso usamos a propriedade de deslocamento no tempo (segunda propriedade de deslocamento): se \(F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}(s)\), então \[\mathcal{L}\{u(t-a)\,f(t-a)\}(s)=e^{-a s}F(s),
onde a>0 e u(t-a) é a função degrau de Heaviside, definida por
u(t-a)=\begin{cases} 0, & t<a,\\[4pt] 1, & t\ge a. \end{cases}
Essa propriedade diz, em palavras simples: multiplicar por e^{-as}\] no domínio de \(s corresponde a deslocar a função no tempo para a direita em a unidades e “ligá-la” em t=a com o degrau.]

Passo 5

Aplicando a propriedade ao nosso caso:
  • Identificamos a=2.
  • Também identificamos F(s)=\dfrac{1}{s^{3}}, cujo inverso já encontramos como f(t)=\dfrac{t^{2}}{2}.
    Pela propriedade de deslocamento,
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{e^{-2 s}}{s^{3}}\right\}=u(t-2)\cdot f(t-2)=u(t-2)\cdot\frac{(t-2)^{2}}{2}.
Isto significa que para t<2 a função vale 0, e para t\ge2 ela vale \dfrac{(t-2)^{2}}{2}.

Passo 6

Verificação rápida (opcional, para ficar seguro): calcular a transformada direta de g(t)=u(t-2)\dfrac{(t-2)^{2}}{2}. Fazendo a substituição \tau=t-2 em \int_{0}^{\infty}e^{-st}g(t)\,dt reduz-se a e^{-2s}\int_{0}^{\infty}e^{-s\tau}\dfrac{\tau^{2}}{2}\,d\tau=e^{-2s}\dfrac{1}{s^{3}}, confirmando a nossa resposta.

Resposta

u(t-2)\,\frac{(t-2)^{2}}{2}

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