Passo 1
O enunciado pede para calcular a transformada inversa de Laplace
Informações dadas:
- A expressão no domínio de
é . - Não há outras restrições no enunciado (assumir
e com parte real positiva quando necessário).
A pergunta clara é: qual função detem essa imagem pela transformada de Laplace?
Passo 2
Relembrando a definição e um par básico da transformada de Laplace (isso é útil para a inversão).
A transformada de Laplace de uma função é
A transformada de Laplace de uma função
onde
é a variável complexa (mas aqui tratamos como variável real positiva para cálculo elementar). Um par bem conhecido é a transformada de potências de
: para inteiro não negativo
,
Explicando:
é o fatorial de
; a fórmula vem de integrar por partes ou do uso da função Gamma. Isso nos dá relações fáceis entre potências e potências de
.
Passo 3
Aplicando o par com
:
Portanto, invertendo essa relação,
Ou seja, a função cuja transformada é
é
.
Passo 4
Agora precisamos tratar o fator exponencial
onde
e
é a função degrau de Heaviside, definida por
Essa propriedade diz, em palavras simples: multiplicar por
corresponde a deslocar a função no tempo para a direita em
unidades e “ligá-la” em
com o degrau.]
Passo 5
Aplicando a propriedade ao nosso caso:
- Identificamos
. - Também identificamos
, cujo inverso já encontramos como .
Pela propriedade de deslocamento,
Isto significa que para
a função vale
, e para
ela vale
.
Passo 6
Verificação rápida (opcional, para ficar seguro): calcular a transformada direta de
. Fazendo a substituição
em
reduz-se a
, confirmando a nossa resposta.