\mathcal{L}\left\{t^{5} e^{4 t}\right\}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de \,t^{5}e^{4t}. Vamos usar duas coisas:
  1. A definição de transformada de Laplace
  2. A propriedade do deslocamento no eixo s: se \mathcal{L}\{f(t)\}(s)=F(s), então \mathcal{L}\{e^{at}f(t)\}(s)=F(s-a).

Passo 2

Primeiro lembramos que
\mathcal{L}\{t^n\}(s)=\int_{0}^{\infty}t^n e^{-st}\,dt=\frac{n!}{s^{\,n+1}},
válido para \Re(s)>0. No nosso caso n=5, então
\mathcal{L}\{t^5\}(s)=\frac{5!}{s^6}=\frac{120}{s^6}.

Passo 3

Agora aplicamos a propriedade de deslocamento: para a=4 e f(t)=t^5, temos
\mathcal{L}\{e^{4t}t^5\}(s) =\left.\mathcal{L}\{t^5\}(s)\right|_{s\to s-4} =\frac{120}{(s-4)^6},
válido para \Re(s-4)>0, ou seja, \Re(s)>4.

Resposta

\mathcal{L}\{t^{5}e^{4t}\}(s)=\frac{120}{(s-4)^6},\quad \Re(s)>4.

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