\mathcal{L}\left\{t e^{a t} \cos (b t)\right\}, a, b \in \mathbb{R}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a transformada de Laplace de t\,e^{a t}\cos(b t), com a,b\in\mathbb{R}. O conteúdo é transformada de Laplace e vamos usar a propriedade que relaciona multiplicação por t com derivada em s, além de já conhecer a transformada de e^{a t}\cos(b t).

Passo 2

Recordando a definição,
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty}f(t)\,e^{-s t}dt.
E a transformada de
e^{a t}\cos(b t)
é dada por
\mathcal{L}\{e^{a t}\cos(b t)\}(s) =\frac{s - a}{(s - a)^{2}+b^{2}},
válida para s>a.

Passo 3

Usamos a propriedade
\mathcal{L}\{t\,f(t)\}(s) =-\frac{d}{ds}\bigl[\mathcal{L}\{f(t)\}(s)\bigr].
Aplicando em f(t)=e^{a t}\cos(b t) temos
\mathcal{L}\{t\,e^{a t}\cos(b t)\}(s) =-\frac{d}{ds}\!\Bigl[\frac{s - a}{(s - a)^{2}+b^{2}}\Bigr].

Passo 4

Para derivar \displaystyle\frac{s - a}{(s - a)^{2}+b^{2}}, defina N=s-a e D=(s-a)^{2}+b^{2}.
\frac{d}{ds}\bigl(\tfrac{N}{D}\bigr) =\frac{D\cdot\frac{dN}{ds}-N\cdot\frac{dD}{ds}}{D^{2}} =\frac{(s-a)^{2}+b^{2}-2(s-a)^{2}}{\bigl[(s-a)^{2}+b^{2}\bigr]^{2}} =\frac{b^{2}-(s-a)^{2}}{\bigl[(s-a)^{2}+b^{2}\bigr]^{2}}.
Com o sinal menos em frente,
\mathcal{L}\{t\,e^{a t}\cos(b t)\}(s) =\frac{(s - a)^{2}-b^{2}}{\bigl[(s - a)^{2}+b^{2}\bigr]^{2}}.

Resposta

\mathcal{L}\{t\,e^{a t}\cos(b t)\}(s) =\frac{(s - a)^{2}-b^{2}}{\bigl[(s - a)^{2}+b^{2}\bigr]^{2}}.
para s>a.

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