A integral iterada
\int_{1}^{5} \int_{2}^{4}\left(3 x^{2}-2 x y+y^{2}\right) d x d y=\int_{\square}^{\square} \underline{\qquad} d y
Preencha as lacunas com o integrando que falta.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a integral iterada
\int_{1}^{5}\int_{2}^{4}\bigl(3x^{2}-2xy+y^{2}\bigr)\,dx\,dy
e queremos escrevê-la como uma única integral em y, ou seja,
\int_{\square}^{\square}\underline{\qquad}\,dy.
O que precisamos é calcular a integral interna em x para obter um integrando que dependa só de y.

Passo 2

Para integrar em x tratamos y como constante e usamos as antiderivadas:
\int 3x^{2}\,dx = x^{3},\quad \int (-2xy)\,dx = -x^{2}y,\quad \int y^{2}\,dx = x\,y^{2}.
Logo uma primitiva em x é
F(x,y) = x^{3} - x^{2}y + x\,y^{2}.

Passo 3

Agora avaliamos F(x,y) de x=2 até x=4:
F(4,y) = 4^{3} - 4^{2}y + 4\,y^{2} = 64 - 16y + 4y^{2},
F(2,y) = 2^{3} - 2^{2}y + 2\,y^{2} = 8 - 4y + 2y^{2}.
Subtraindo,
F(4,y) - F(2,y) = (64 - 16y + 4y^{2}) - (8 - 4y + 2y^{2}) = 56 - 12y + 2y^{2}.

Passo 4

Portanto a integral dada fica
\int_{1}^{5}\int_{2}^{4}\bigl(3x^{2}-2xy+y^{2}\bigr)\,dx\,dy = \int_{1}^{5}\bigl(56 - 12y + 2y^{2}\bigr)\,dy.

Resposta

\int_{1}^{5}\bigl(56 - 12y + 2y^{2}\bigr)\,dy

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