Se \mathrm{Z}=1,00054 a 0^{\circ} \mathrm{C} e 1 atm e a temperatura de Boyle para o gás é 107 K , faça uma estimativa dos valores de a e de b. (São necessários apenas os primeiros dois termos da expressão de Z).

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede estimativa de a e b:
Z=1,00054\quad\text{a}\quad 0^\circ\mathrm{C}\\ (T=273{,}15\\ \mathrm{K})\\ \text{e}\\ P=1\\ \mathrm{atm},
a temperatura de Boyle é T_B=107\\ \mathrm{K}.
Pede-se estimar a e b usando apenas os primeiros dois termos da expressão de Z (ou seja, truncando a expansão de virial ao segundo coeficiente).

Passo 2

Vou lembrar o que é o fator de compressibilidade e a forma truncada da expansão de virial que usaremos.
O fator de compressibilidade é definido por
Z=\frac{P V_m}{R T},
onde V_m é o volume molar, R a constante dos gases e T a temperatura. Para um gás real a expansão de virial em potências de P, truncada após o segundo coeficiente, é
Z=1+B(T)\,\frac{P}{R T}+\cdots.
Aqui B(T) é o segundo coeficiente de virial (unidade de volume por mol, por ex. L·mol ^{-1}). Como só usamos os primeiros dois termos, vamos tomar
Z \approx 1+B(T)\,\frac{P}{R T}.
A estratégia: usar o Z medido para obter B(T) no ponto T=273{,}15\\ \mathrm{K}, e então relacionar B(T) com a e b do modelo de van der Waals.

Passo 3

Isolando B(T) na expressão truncada obtemos
B(T)=\bigl(Z-1\bigr)\frac{R T}{P}.
Vamos calcular numericamente. Usamos a constante dos gases na forma conveniente para \mathrm{L\cdot atm\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}:
R=0{,}082057\\ \mathrm{L\cdot atm\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}.
Calculemos R T em L·atm·mol ^{-1}:
R T=0{,}082057\times 273{,}15 = 22{,}4139\\ \mathrm{L\cdot atm\cdot mol^{-1}}.
Como P=1\\ \mathrm{atm} e Z-1=0{,}00054, temos
B(T)=0{,}00054\times 22{,}4139 = 0{,}0121035\\ \mathrm{L\cdot mol^{-1}}.
Portanto o segundo coeficiente de virial no ponto T=273{,}15\\ \mathrm{K} é aproximadamente B(273{,}15\\ \mathrm{K})\approx 0{,}0121035\\ \mathrm{L\cdot mol^{-1}}.

Passo 4

No modelo de van der Waals o segundo coeficiente de virial é dado (nos primeiros termos) por
B(T)=b-\frac{a}{R T},
onde b tem unidade de L·mol ^{-1} e a tem unidade de L ^2;atm·mol ^{-2}. A temperatura de Boyle T_B é aquela que anula B(T), logo
B(T_B)=0 \implies b-\frac{a}{R T_B}=0 \implies a=b R T_B.
Essa relação entre a e b é útil para eliminar uma das incógnitas.

Passo 5

Substituindo a=b R T_B em B(T)=b-\dfrac{a}{R T} obtemos
B(T)=b-\frac{b R T_B}{R T}=b\Bigl(1-\frac{T_B}{T}\Bigr).
Assim
b=\frac{B(T)}{1-\dfrac{T_B}{T}}.
Agora calculamos numericamente 1-\dfrac{T_B}{T}:
\frac{T_B}{T}=\frac{107}{273{,}15}=0{,}392015\ldots,
logo
1-\frac{T_B}{T}=0{,}607985\ldots
Portanto
b=\frac{0{,}0121035}{0{,}607985}=0{,}019905\\ \mathrm{L\cdot mol^{-1}}.

Passo 6

Com b em mão usamos a=b R T_B para obter a:
a=b R T_B = 0{,}019905\times 0{,}082057\times 107.
Façamos a multiplicação em etapas:
0{,}019905\times 0{,}082057 = 0{,}0016322\ldots
0{,}0016322\times 107 = 0{,}17460\ldots
Portanto
a\approx 0{,}1746\\ \mathrm{L^2\cdot atm\cdot mol^{-2}}.

Passo 7

Breve comentário de checagem (opcional, para tirar a dúvida): usando os valores encontrados calculamos
b-\frac{a}{R T}=0{,}019905-\frac{0{,}1746}{0{,}082057\times 273{,}15}
O denominador R T já tínhamos como 22{,}4139; então \dfrac{0{,}1746}{22{,}4139}\approx 0{,}0076 e 0{,}019905-0{,}0076\approx 0{,}0123, próximo do B(T) calculado (diferença pequena devido a arredondamentos). Isso dá consistência aos valores obtidos.

Resposta

a\approx 0{,}1746\\ \mathrm{L^{2}\,atm\;mol^{-2}}
b\approx 0{,}019905\\ \mathrm{L\;mol^{-1}}

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