Se \mathrm{Q}_{\mathrm{t}}=108, \mathrm{Q}_{\mathrm{r}}=10 e \mathrm{Q}_{\mathrm{v}}=1, calcule o valor do fator pré-exponencial de Arrhenius para a reação abaixo à uma temperatura de 35^{\circ} \mathrm{C}.
\mathrm{A}+\mathrm{B} \rightleftharpoons \mathrm{AB}

Passo 1

O enunciado fornece os valores das funções de partição (ou fatores) e a temperatura e pede o fator pré-exponencial de Arrhenius. Dados fornecidos:
Q_{t}=108,\quad Q_{r}=10,\quad Q_{v}=1
Temperatura:
35^\circ\mathrm{C} = 308{,}15\\ \mathrm{K}.
O que se pede: calcular o fator pré-exponencial A para a reação \mathrm{A}+\mathrm{B}\rightleftharpoons\mathrm{AB} à temperatura indicada.

Passo 2

Conceito físico e fórmula que vamos usar (aula rápida): pela Teoria do Estado de Transição (Eyring), a constante de taxa pode ser escrita como
k(T)=\frac{k_B T}{h}\,\frac{Q^\ddagger}{Q_AQ_B}\,\mathrm{e}^{-\Delta E^\ddagger/(k_B T)},
onde k_B é a constante de Boltzmann, h é a constante de Planck, T é a temperatura, Q^\ddagger é a função de partição do complexo ativado e Q_A,Q_B são as funções de partição dos reagentes. O fator pré-exponencial A (a parte que multiplica o exponencial) é, portanto,
A=\frac{k_B T}{h}\,\frac{Q^\ddagger}{Q_AQ_B}.
Neste exercício foi dado um produto de funções de partição que assumimos representar a razão \dfrac{Q^\ddagger}{Q_AQ_B}. Assim, definimos
Q \equiv Q_t\cdot Q_r\cdot Q_v,
e usaremos
A=\frac{k_B T}{h}\,Q.
Explicando as constantes: k_B=1{,}380649\times 10^{-23}\\ \mathrm{J\,K^{-1}} e h=6{,}62607015\times 10^{-34}\\ \mathrm{J\,s}. A unidade de k_B T/h é \mathrm{s^{-1}}, então A ficará em \mathrm{s^{-1}} se Q for adimensional (ou equivalente à razão de funções de partição usada no enunciado).

Passo 3

Calculemos primeiro o produto das funções de partição dado:
Q = Q_t\cdot Q_r\cdot Q_v = 108\cdot 10\cdot 1 = 1080.

Passo 4

Calculemos a razão \dfrac{k_B T}{h}. Primeiro k_B T:
k_B T = 1{,}380649\times 10^{-23}\\ \mathrm{J\,K^{-1}}\times 308{,}15\\ \mathrm{K} = 4{,}254507\times 10^{-21}\\ \mathrm{J}.
Agora dividimos por h:
\frac{k_B T}{h}=\frac{4{,}254507\times 10^{-21}}{6{,}62607015\times 10^{-34}}\\ \mathrm{s^{-1}} = 6{,}4205\times 10^{12}\\ \mathrm{s^{-1}}.

Passo 5

Multiplicamos pela razão de funções de partição Q para obter A:
A=\frac{k_B T}{h}\,Q = 6{,}4205\times 10^{12}\\ \mathrm{s^{-1}}\times 1080 = 6{,}93414\times 10^{15}\\ \mathrm{s^{-1}}.
Arredondando para três algarismos significativos:
A \approx 6{,}93\times 10^{15}\\ \mathrm{s^{-1}}.

Resposta

A = 6{,}93\times 10^{15}\\ \mathrm{s^{-1}}

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