Calcule a constante de velocidade para a reação de formação de HI, a partir de uma temperatura de 283^{\circ} \mathrm{C} e pressão constante de 1 atm . Suponha que os diâmetros de colisão para o hidrogênio e iodo são, respectivamente, 200 pm e 500 pm , e a energia de ativação é 170 \mathrm{~kJ} \mathrm{~mol}^{-1}.
\mathrm{H}_{2}+\mathrm{I}_{2} \longrightarrow 2 \mathrm{HI}

Passo 1

O que o exercício pede e o que nos foi dado\n
  • Pede: calcular a constante de velocidade (taxa, k) para a reação gasosa \mathrm{H_{2}+I_{2}\rightarrow 2HI} nas condições fornecidas.\n
  • Dados do enunciado:\n
    • Temperatura: 283^{\circ}\mathrm{C}.\n
    • Pressão: 1\\ \mathrm{atm} (pressão constante).\n
    • Diâmetros de colisão: d_{\mathrm{H_{2}}}=200\\ \mathrm{pm} e d_{\mathrm{I_{2}}}=500\\ \mathrm{pm}.\n
    • Energia de ativação: E_{\mathrm{a}}=170\\ \mathrm{kJ\\ mol^{-1}}.\n
  • Observação: o enunciado não dá fator estérico; usaremos a teoria de colisões simples (fator estérico =1) para estimar o pré-exponencial e aplicaremos o fator de Arrhenius e^{-E_{\mathrm{a}}/(RT)}.\n

Passo 2

Qual fórmula vamos usar e por quê (aula rápida de teoria de colisões)\n
  • Na teoria de colisões, para uma reação bimolecular gasosa A+B\rightarrow produtos, a constante de velocidade estimada é a frequência de colisões eficazes entre pares A- B multiplicada pelo fator exponencial de Boltzmann que dá a fração das colisões com energia suficiente:\n
k(T)=N_{\mathrm{A}}\;\sigma_{AB}\;\overline{v}_{\mathrm{rel}}\;e^{-E_{\mathrm{a}}/(RT)}\n
  • Aqui:\n - N_{\mathrm{A}} é o número de Avogadro ( 6{,}022\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}}).\n - \sigma_{AB} é a seção de choque para colisão entre A e B (m²). Para esferas duras,\n \sigma_{AB}=\pi (r_A+r_B)^2=\pi\left(\frac{d_A+d_B}{2}\right)^2.\n - \overline{v}_{\mathrm{rel}} é a velocidade relativa média entre as moléculas, dada por\n \overline{v}_{\mathrm{rel}}=\sqrt{\frac{8k_{\mathrm{B}}T}{\pi\mu}}\n onde k_{\mathrm{B}} é a constante de Boltzmann e \mu é a massa reduzida por molécula. É mais prático usar constantes molares: como k_{\mathrm{B}}N_{\mathrm{A}}=R e \mu=M_{\mathrm{red}}/N_{\mathrm{A}}, obtemos\n \overline{v}_{\mathrm{rel}}=\sqrt{\frac{8RT}{\pi M_{\mathrm{red}}}}\n com M_{\mathrm{red}} a massa reduzida molar (kg mol ^{-1}).\n - E_{\mathrm{a}} é em J mol ^{-1} e R é a constante dos gases ( 8{,}3145\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}\\ K^{-1}}).\n- Portanto, usando a forma com massas molares, a expressão prática é\n k(T)=N_{\mathrm{A}}\;\sigma_{AB}\;\sqrt{\frac{8RT}{\pi M_{\mathrm{red}}}}\;e^{-E_{\mathrm{a}}/(RT)}.\n
  • Unidades: com \sigma em m², M_{\mathrm{red}} em kg mol ^{-1}, T em K, o resultado fica em \mathrm{m^{3}\;mol^{-1}\;s^{-1}}. Para obter \mathrm{L\;mol^{-1}\;s^{-1}} multiplica-se por 10^{3}.\n

Passo 3

Conversões e dados numéricos que vamos usar\n
  • Converter temperatura:\n T=283^{\circ}\mathrm{C}=283+273{,}15=556{,}15\\ \mathrm{K}.\n
  • Converter energia de ativação para J mol ^{-1}:\n E_{\mathrm{a}}=170\\ \mathrm{kJ\\ mol^{-1}}=170{,}000\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}}.\n
  • Diâmetros para metros (1 pm =10^{-12}\\ \mathrm{m}):\n d_{\mathrm{H_{2}}}=200\\ \mathrm{pm}=2{,}00\times10^{-10}\\ \mathrm{m},\n d_{\mathrm{I_{2}}}=500\\ \mathrm{pm}=5{,}00\times10^{-10}\\ \mathrm{m}.\n
  • Massas molares (em kg mol ^{-1}):\n - \mathrm{H_{2}}: M_{\mathrm{H_{2}}}=2{,}016\\ \mathrm{g\\ mol^{-1}}=0{,}002016\\ \mathrm{kg\\ mol^{-1}}.\n - \mathrm{I_{2}}: M_{\mathrm{I_{2}}}=253{,}8\\ \mathrm{g\\ mol^{-1}}=0{,}2538\\ \mathrm{kg\\ mol^{-1}}.\n
  • Constantes: N_{\mathrm{A}}=6{,}022\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}}, R=8{,}3145\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}\\ K^{-1}}, \pi\approx3{,}14159.\n

Passo 4

Calcular a seção de choque \sigma_{AB}\n
  • Soma dos diâmetros: d_{\mathrm{H_{2}}}+d_{\mathrm{I_{2}}}=2{,}00\times10^{-10}+5{,}00\times10^{-10}=7{,}00\times10^{-10}\\ \mathrm{m}.\n- Metade desta soma (soma de raios): \dfrac{d_{\mathrm{H_{2}}}+d_{\mathrm{I_{2}}}}{2}=3{,}50\times10^{-10}\\ \mathrm{m}.\n- Seção de choque:\n \sigma_{AB}=\pi\left(3{,}50\times10^{-10}\right)^{2} =\pi\cdot 1{,}225\times10^{-19} \approx 3{,}847\times10^{-19}\\ \mathrm{m^{2}}.\n

Passo 5

Calcular a massa reduzida molar M_{\mathrm{red}}\n
  • Fórmula:\n M_{\mathrm{red}}=\frac{M_{\mathrm{H_{2}}}\,M_{\mathrm{I_{2}}}}{M_{\mathrm{H_{2}}}+M_{\mathrm{I_{2}}}}.\n
  • Valores:\n M_{\mathrm{red}}=\frac{0{,}002016\times0{,}2538}{0{,}002016+0{,}2538} =\frac{0{,}0005117088}{0{,}255816} \approx 1{,}999\times10^{-3}\\ \mathrm{kg\\ mol^{-1}}.\n
(Observação: como \mathrm{I_{2}} é muito mais pesado, o M_{\mathrm{red}} fica próximo da massa molar do \mathrm{H_{2}}.)\n

Passo 6

Calcular a velocidade relativa média \overline{v}_{\mathrm{rel}}\n
  • Usamos a forma com R e M_{\mathrm{red}}:\n \overline{v}_{\mathrm{rel}}=\sqrt{\frac{8RT}{\pi M_{\mathrm{red}}}}.\n
  • Substituindo:\n \overline{v}_{\mathrm{rel}}=\sqrt{\frac{8\cdot 8{,}3145\cdot 556{,}15}{\pi\cdot 1{,}999\times10^{-3}}}.\n
  • Cálculo intermediário: 8RT\approx 8\cdot8{,}3145\cdot556{,}15\approx 3{,}6989\times10^{4}. \pi M_{\mathrm{red}}\approx 3{,}14159\cdot1{,}999\times10^{-3}\approx 6{,}2816\times10^{-3}.\n
  • Dividindo e extraindo raiz:\n \frac{8RT}{\pi M_{\mathrm{red}}}\approx \frac{3{,}6989\times10^{4}}{6{,}2816\times10^{-3}}\approx 5{,}892\times10^{6},\n \overline{v}_{\mathrm{rel}}\approx \sqrt{5{,}892\times10^{6}}\approx 2{,}43\times10^{3}\\ \mathrm{m\\ s^{-1}}.\n

Passo 7

Calcular o termo pré-exponencial (frequência de colisões eficazes) k_{\mathrm{coll}}=N_{\mathrm{A}}\sigma_{AB}\overline{v}_{\mathrm{rel}}\n
  • Primeiro N_{\mathrm{A}}\sigma_{AB}:\n N_{\mathrm{A}}\sigma_{AB}=6{,}022\times10^{23}\cdot 3{,}847\times10^{-19} \approx 2{,}318\times10^{5}\\ \mathrm{m^{2}\;mol^{-1}}.\n
  • Multiplicando pela velocidade relativa:\n k_{\mathrm{coll}}=2{,}318\times10^{5}\cdot 2{,}43\times10^{3} \approx 5{,}63\times10^{8}\\ \mathrm{m^{3}\;mol^{-1}\;s^{-1}}.\n
(Este é o valor sem ainda aplicar o fator exponencial de ativação; é muito grande porque conta todas as colisões entre pares por molaridade.)\n

Passo 8

Calcular o fator exponencial de Arrhenius e^{-E_{\mathrm{a}}/(RT)}\n
  • Exponente:\n \frac{E_{\mathrm{a}}}{RT}=\frac{170{,}000}{8{,}3145\cdot 556{,}15}\approx 36{,}75.\n
  • Portanto:\n e^{-E_{\mathrm{a}}/(RT)}\approx e^{-36{,}75}\approx 1{,}10\times10^{-16}.\n

Passo 9

Calcular k(T) multiplicando pré-exponencial pelo fator exponencial e converter unidades para L mol ^{-1} s ^{-1}\n
  • Produto:\n k(T)=k_{\mathrm{coll}}\;e^{-E_{\mathrm{a}}/(RT)} \approx 5{,}63\times10^{8}\times 1{,}10\times10^{-16} \approx 6{,}19\times10^{-8}\\ \mathrm{m^{3}\;mol^{-1}\;s^{-1}}.\n
  • Converter para \mathrm{L\;mol^{-1}\;s^{-1}} (1 m³ = 1000 L):\n k(T)\approx 6{,}19\times10^{-8}\\ \mathrm{m^{3}\;mol^{-1}\;s^{-1}} =6{,}19\times10^{-5}\\ \mathrm{L\;mol^{-1}\;s^{-1}}.\n
  • Arredondando para duas algarismos significativos (dado que dados iniciais têm cerca de 2–3 algarismos):\n k(T)\approx 6{,}2\times10^{-8}\\ \mathrm{m^{3}\;mol^{-1}\;s^{-1}} =6{,}2\times10^{-5}\\ \mathrm{L\;mol^{-1}\;s^{-1}}.\n
  • Breve comentário motivador: o resultado é pequeno porque a energia de ativação é alta; poucas colisões têm energia suficiente para reagir.\n

Resposta

k\approx 6{,}2\times10^{-8}\\ \mathrm{m^{3}\;mol^{-1}\;s^{-1}}\n
k\approx 6{,}2\times10^{-5}\\ \mathrm{L\;mol^{-1}\;s^{-1}}

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