Para \mathrm{m}=250 \mathrm{~g}, \mathrm{k}=85 \mathrm{~N} / \mathrm{m} e \mathrm{b}=79 \mathrm{~g} / \mathrm{s}, determine:
Qual é o tempo necessário para que a amplitude das oscilações amortecidas se reduza à metade do valor inicial?

Passo 1

O enunciado dá um oscilador massa-mola com amortecimento linear, onde \!m=250 g, k=85 N/m e b=79 g/s, e pede o tempo necessário para que a amplitude das oscilações se reduza à metade do valor inicial. O conteúdo é o decaimento exponencial da amplitude num regime subamortecido, cuja solução satisfaz
A(t)=A_0\,e^{-\frac{b}{2m}t}.

Passo 2

Da expressão do decaimento exponencial da amplitude, temos
\frac{A(t)}{A_0}=e^{-\frac{b}{2m}t}.
Para que A(t)/A_0=1/2, basta resolver
e^{-\frac{b}{2m}t}=\tfrac12.

Passo 3

Tomando logaritmo natural em ambos os lados, obtemos
-\frac{b}{2m}\,t=\ln\!\bigl(\tfrac12\bigr)=-\ln 2 \quad\Longrightarrow\quad t=\frac{2m}{b}\,\ln 2.

Passo 4

Convertendo unidades para o SI:
\!m=0,250 kg e b=0,079 kg/s. Então
t=\frac{2\cdot0,250}{0,079}\,\ln2 \approx\frac{0,500}{0,079}\times0,6931 \approx4,39\;\text{s}.

Resposta

O tempo para a amplitude ficar metade da inicial é aproximadamente 4,39 s.

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