Um óleo incompressível é despejado com uma vazão Q constante em um tanque cilíndrico, de diâmetro D . O óleo vaza através de um orifício de diâmetrod, localizado no fundo do reservatório, com uma velocidade de saída dada por V=\sqrt{2 g h}, onde h é o nível de óleo no reservatório. Considerado que o jato de óleo possui diâmetro d no orifício de saída, determine:
a. A equação diferencial que descreve a evolução com o tempo do nível h de óleo no tanque, supondo um nível inicial qualquer. ( \mathbf{2 , 0} pontos)
b. O nível máximo de óleo no reservatório a partir do qual o escoamento entra em regime permanente ( \mathbf{2 , 0} pontos).

Passo 1

O enunciado dá um tanque cilíndrico de diâmetro D, no qual entra óleo incompressível a vazão constante Q e sai por um orifício de diâmetro d no fundo. A velocidade de saída é
V_{\text{out}} = \sqrt{2\,g\,h},
onde h(t) é o nível de óleo no reservatório.
O que precisamos:
  • (a) a equação diferencial para h(t) (balanço de volume).
  • (b) o valor de h em regime permanente ( \dot h=0).

Passo 2

Definimos as áreas:
A_t = \frac{\pi D^2}{4} \quad\text{(tanque)}, \qquad A_o = \frac{\pi d^2}{4} \quad\text{(orifício)}.í
O volume de óleo no tanque é \mathcal{V}=A_t\,h. Pelo princípio de conservação de massa (assumindo densidade constante) temos
\frac{d\mathcal{V}}{dt} = Q_{\text{in}} - Q_{\text{out}} = Q - A_o\,\sqrt{2\,g\,h}.

Passo 3

Como \mathcal{V}=A_t\,h, segue
\frac{d\mathcal{V}}{dt} = A_t\,\frac{dh}{dt}.
Logo a equação diferencial fica
A_t\,\frac{dh}{dt} = Q - A_o\,\sqrt{2\,g\,h}.
Substituindo A_t e A_o em função de D e d:
\frac{dh}{dt} = \frac{Q}{\frac{\pi D^2}{4}} - \frac{\frac{\pi d^2}{4}}{\frac{\pi D^2}{4}}\;\sqrt{2\,g\,h} = \frac{4\,Q}{\pi D^2} - \frac{d^2}{D^2}\,\sqrt{2\,g\,h}.

Passo 4

Em regime permanente temos \dot h=0. Assim
Q = A_o\,\sqrt{2\,g\,h_{\text{ss}}},
de onde
h_{\text{ss}} = \frac{Q^2}{2\,g\,A_o^2} = \frac{Q^2}{2\,g\,\bigl(\frac{\pi d^2}{4}\bigr)^2} = \frac{8\,Q^2}{g\,\pi^2\,d^4}.

Resposta

(a) A equação diferencial que governa h(t) é
A_t\,\frac{dh}{dt} = Q - A_o\,\sqrt{2\,g\,h} \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{dh}{dt} = \frac{4\,Q}{\pi D^2} - \frac{d^2}{D^2}\,\sqrt{2\,g\,h}.
(b) No regime permanente ( \dot h=0), o nível de equilíbrio é
h_{\text{ss}} = \frac{Q^2}{2\,g\,(\tfrac{\pi d^2}{4})^2} = \frac{8\,Q^2}{g\,\pi^2\,d^4}.

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