Um óleo incompressível é despejado com uma vazão
constante em um tanque cilíndrico, de diâmetro
óleo vaza através de um orifício de diâmetrod, localizado no fundo do reservatório, com uma velocidade de saída dada por
, onde
é o nível de óleo no reservatório. Considerado que o jato de óleo possui diâmetro
no orifício de saída, determine:
a. A equação diferencial que descreve a evolução com o tempo do nível h de óleo no tanque, supondo um nível inicial qualquer. (
pontos)
b. O nível máximo de óleo no reservatório a partir do qual o escoamento entra em regime permanente (
pontos).
a. A equação diferencial que descreve a evolução com o tempo do nível h de óleo no tanque, supondo um nível inicial qualquer. (
b. O nível máximo de óleo no reservatório a partir do qual o escoamento entra em regime permanente (
Passo 1
O enunciado dá um tanque cilíndrico de diâmetro
, no qual entra óleo incompressível a vazão constante
e sai por um orifício de diâmetro
no fundo. A velocidade de saída é
onde
é o nível de óleo no reservatório.
O que precisamos:
O que precisamos:
- (a) a equação diferencial para
(balanço de volume). - (b) o valor de
em regime permanente ( ).
Passo 2
Definimos as áreas:
O volume de óleo no tanque é
. Pelo princípio de conservação de massa (assumindo densidade constante) temos
Passo 3
Como
, segue
Logo a equação diferencial fica
Substituindo
e
em função de
e
:
Passo 4
Em regime permanente temos
. Assim
de onde
Resposta
(a) A equação diferencial que governa
é
(b) No regime permanente (
), o nível de equilíbrio é