\mathrm{PP}_{33} Determine a excentricidade e o parâmetro da hipérbole 16 x^{2}-9 y^{2}- -224 x+144 y+352=0. Resp. : e=\frac{5}{4} e p=\frac{9}{4}.

Passo 1

O enunciado dá a equação da cônica
16x^{2}-9y^{2}- -224x+144y+352=0
(eu interpreto o termo `` - -224x’’ como +224x, ou seja a equação é 16x^{2}-9y^{2}+224x+144y+352=0; no entanto o resultado final coincide com a forma que vamos obter abaixo usando -224x como sinal negativo — ver desenvolvimento).
O que se pede:
  • Determinar a excentricidade \,e.
  • Determinar o parâmetro \,p (aqui entendido como o semilatitudinal ou parâmetro focal da hipérbole, isto é p=\dfrac{b^{2}}{a}).
    Informações relevantes dadas explicitamente pela equação: coeficientes quadráticos 16 em x^{2} e -9 em y^{2}, termos lineares em x e y e termo constante 352.

Passo 2

Primeiro passo algébrico: agrupar termos em x e em y e fatorar os coeficientes quadráticos para completar quadrados. Escrevendo os termos de x e de y:
16x^{2}-224x \quad\text{e}\quad -9y^{2}+144y.
Fatorando os coeficientes:
16\bigl(x^{2}-14x\bigr)\;-\;9\bigl(y^{2}-16y\bigr)\;+\;352=0.

Passo 3

Agora completamos os quadrados dentro dos parênteses. Lembre que para completar o quadrado em x^{2}-14x adiciona-se e subtrai-se (\tfrac{14}{2})^{2}=7^{2}=49. Em y^{2}-16y adiciona-se e subtrai-se (\tfrac{16}{2})^{2}=8^{2}=64. Assim:
x^{2}-14x=(x-7)^{2}-49, \qquad y^{2}-16y=(y-8)^{2}-64.
Substituindo na equação:
16\bigl((x-7)^{2}-49\bigr)-9\bigl((y-8)^{2}-64\bigr)+352=0.

Passo 4

Distribuindo os constantes e somando os termos independentes:
16(x-7)^{2}-16\cdot49 \;-\;9(y-8)^{2}+9\cdot64+352=0.
Calcule os produtos: 16\cdot49=784 e 9\cdot64=576. Portanto os termos constantes são -784+576+352. Somando:
-784+576+352=144.
Logo a equação fica
16(x-7)^{2}-9(y-8)^{2}+144=0.
Isolando os quadrados:
16(x-7)^{2}-9(y-8)^{2}=-144.
Dividindo ambos os lados por -144 para obter a forma padrão:
-\dfrac{16}{144}(x-7)^{2}+\dfrac{9}{144}(y-8)^{2}=1.
Simplificando as frações ( \tfrac{16}{144}=\tfrac{1}{9}, \tfrac{9}{144}=\tfrac{1}{16}):
-\dfrac{1}{9}(x-7)^{2}+\dfrac{1}{16}(y-8)^{2}=1,
ou rearranjando:
\frac{(y-8)^{2}}{16}-\frac{(x-7)^{2}}{9}=1.

Passo 5

Interpretando essa forma padrão: trata-se de uma hipérbole com eixo transverso vertical (porque o termo positivo é o que envolve y). Comparando com a forma canônica \dfrac{(y-k)^{2}}{a^{2}}-\dfrac{(x-h)^{2}}{b^{2}}=1, identificamos:
a^{2}=16,\qquad b^{2}=9,\qquad a=4,\qquad b=3.

Passo 6

Definição e cálculo da excentricidade. Para uma hipérbole em forma \dfrac{(y-k)^{2}}{a^{2}}-\dfrac{(x-h)^{2}}{b^{2}}=1 vale
c^{2}=a^{2}+b^{2},
onde c é a distância do centro ao foco. Então
c^{2}=16+9=25\quad\Rightarrow\quad c=5.
A excentricidade é definida por
e=\frac{c}{a}.
Substituindo os valores:
e=\frac{5}{4}.

Passo 7

Definição e cálculo do parâmetro p. Para elipses e hipérboles costuma-se chamar de parâmetro focal (ou semilatitudinal) o valor
p=\frac{b^{2}}{a}.
Esse p é a semi‑latus rectum (metade da corda focal). Aqui:
p=\frac{b^{2}}{a}=\frac{9}{4}.

Resposta

e=\dfrac{5}{4}
p=\dfrac{9}{4}

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