Determine a excentricidade e o parâmetro da hipérbole
. Resp.
e
.
Passo 1
O enunciado dá a equação da cônica
(eu interpreto o termo ``
’’ como
, ou seja a equação é
; no entanto o resultado final coincide com a forma que vamos obter abaixo usando
como sinal negativo — ver desenvolvimento).
O que se pede:
O que se pede:
- Determinar a excentricidade
. - Determinar o parâmetro
(aqui entendido como o semilatitudinal ou parâmetro focal da hipérbole, isto é ).
Informações relevantes dadas explicitamente pela equação: coeficientes quadráticosem e em , termos lineares em e e termo constante .
Passo 2
Primeiro passo algébrico: agrupar termos em
e em
e fatorar os coeficientes quadráticos para completar quadrados. Escrevendo os termos de
e de
:
Fatorando os coeficientes:
Passo 3
Agora completamos os quadrados dentro dos parênteses. Lembre que para completar o quadrado em
adiciona-se e subtrai-se
. Em
adiciona-se e subtrai-se
. Assim:
Substituindo na equação:
Passo 4
Distribuindo os constantes e somando os termos independentes:
Calcule os produtos:
e
. Portanto os termos constantes são
. Somando:
Logo a equação fica
Isolando os quadrados:
Dividindo ambos os lados por
para obter a forma padrão:
Simplificando as frações (
,
):
ou rearranjando:
Passo 5
Interpretando essa forma padrão: trata-se de uma hipérbole com eixo transverso vertical (porque o termo positivo é o que envolve
). Comparando com a forma canônica
, identificamos:
Passo 6
Definição e cálculo da excentricidade. Para uma hipérbole em forma
vale
onde
é a distância do centro ao foco. Então
A excentricidade é definida por
Substituindo os valores:
Passo 7
Definição e cálculo do parâmetro
. Para elipses e hipérboles costuma-se chamar de parâmetro focal (ou semilatitudinal) o valor
Esse
é a semi‑latus rectum (metade da corda focal). Aqui: