PP _{34} Determine as coordenadas dos focos da cônica \frac{(x-2)^{2}}{16}-\frac{(y-1)^{2}}{9}=4.
Resp.: F(2 \pm \frac{5}{2}, 1).

Passo 1

O enunciado pede: determinar as coordenadas dos focos da cônica
\frac{(x-2)^{2}}{16}-\frac{(y-1)^{2}}{9}=4.
Informações dadas:
  • A equação explícita da cônica é \dfrac{(x-2)^{2}}{16}-\dfrac{(y-1)^{2}}{9}=4.
  • Não há outras informações externas; tudo que precisamos está na própria equação.
  • A pergunta é única: encontrar as coordenadas dos focos.

Passo 2

Transformar a equação para a forma canônica de uma hipérbole. A forma canônica (com centro em (h,k) e termo do lado direito igual a 1) é, no caso transverse horizontal,
\frac{(x-h)^2}{a^2}-\frac{(y-k)^2}{b^2}=1.
Portanto, devemos dividir ambos os lados da equação dada por 4 para obter 1 no lado direito. Fazendo isso:
\frac{(x-2)^{2}}{16}\cdot\frac{1}{4}-\frac{(y-1)^{2}}{9}\cdot\frac{1}{4}=1,
ou seja,
\frac{(x-2)^{2}}{64}-\frac{(y-1)^{2}}{36}=1.

Passo 3

Identificar os parâmetros da hipérbole na forma canônica obtida. Comparando
\frac{(x-2)^{2}}{64}-\frac{(y-1)^{2}}{36}=1
com \dfrac{(x-h)^2}{a^2}-\dfrac{(y-k)^2}{b^2}=1, obtemos:
  • centro (h,k)=(2,1);
  • a^2=64 e, portanto, a=\sqrt{64}=8;
  • b^2=36 e, portanto, b=\sqrt{36}=6.
Aqui, como o termo positivo é o de x, a hipérbole tem eixo transverso horizontal; os focos ficam sobre a reta y=k.

Passo 4

Relembrando a relação entre a, b e a distância focal c numa hipérbole com eixo transverse horizontal:
c^2 = a^2 + b^2.
Essa fórmula vem da definição geométrica da hipérbole e é padrão para hipérboles (ao contrário das elipses, onde c^2=a^2-b^2).

Passo 5

Calcular c:
c^2 = a^2 + b^2 = 64 + 36 = 100,
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c = \sqrt{100}=10.

Passo 6

Determinar as coordenadas dos focos. Para hipérbole com centro (h,k) e eixo transverso horizontal, os focos são
F\bigl(h\pm c,\;k\bigr).
Substituindo h=2, k=1 e c=10, obtemos os focos
F_{1}=(2+10,\;1)=(12,\;1) \quad\text{e}\quad F_{2}=(2-10,\;1)=(-8,\;1).

Resposta

(12,1)
(-8,1)

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