Exercício 4 Suponha um cilindro de altura h=5,0 \mathrm{~cm} e raio R=1,5 \mathrm{~cm}, mantido a uma temperatura T_{\mathrm{cil}}=19^{\circ} \mathrm{C}, e coberto de neve a T_{\mathrm{amb}}=-4,0^{\circ} \mathrm{C}. Se a emissividade da superfície do cilindro é \varepsilon=0,70, qual é a taxa líquida de transferência de energia da superfície lateral do cilindro para a neve? (1 ponto)

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede a taxa líquida de energia (potência) que sai da superfície lateral do cilindro e vai para a neve:
  • altura do cilindro: h=5{,}0\\ \mathrm{cm},
  • raio do cilindro: R=1{,}5\\ \mathrm{cm},
  • temperatura da superfície do cilindro: T_{\mathrm{cil}}=19{,}0\,^\circ\mathrm{C},
  • temperatura da neve (ambiente): T_{\mathrm{amb}}=-4{,}0\,^\circ\mathrm{C},
  • emissividade da superfície do cilindro: \varepsilon=0{,}70.
O que se pede: calcular a taxa líquida de transferência de energia da superfície lateral do cilindro para a neve (em watts).

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicando passo a passo).
  • Um corpo radiativo emite radiação térmica de acordo com a lei de Stefan–Boltzmann. Para um corpo real (não perfeito) a emissão é reduzida pela emissividade \varepsilon, que varia entre 0 (não emite) e 1 (corpo negro).
  • A potência emitida por unidade de área de uma superfície a temperatura T é \varepsilon\,\sigma\,T^{4}, onde: \sigmaé a constante de Stefan–Boltzmann, com valor \sigma = 5{,}670374419\times10^{-8}\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}}.
  • A taxa líquida de transferência de energia por radiação entre a superfície do cilindro (temperatura T_{\mathrm{cil}}) e o entorno a T_{\mathrm{amb}} é a emissão própria menos a radiação que incide do ambiente, dada por \dot{Q}=\varepsilon\,\sigma\,A\left(T_{\mathrm{cil}}^{4}-T_{\mathrm{amb}}^{4}\right),onde A é a área da superfície que troca radiação (aqui: a superfície lateral do cilindro). Explicando as variáveis:
    • \dot{Q} é a potência líquida (W),
    • \varepsilon é a emissividade adimensional,
    • \sigma é a constante de Stefan–Boltzmann ( \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}}),
    • A é a área da superfície em \mathrm{m^2},
    • T_{\mathrm{cil}} e T_{\mathrm{amb}} são temperaturas em kelvin ( \mathrm{K}); é obrigatório converter de ^\circ\mathrm{C} para \mathrm{K} antes de elevar à quarta potência.

Passo 3

Área lateral do cilindro e conversão de unidades.
  • A área lateral de um cilindro (sem tampas) é A = 2\pi R h.
  • Converter R e h para metros: R=1{,}5\\ \mathrm{cm}=0{,}015\\ \mathrm{m},\qquad h=5{,}0\\ \mathrm{cm}=0{,}050\\ \mathrm{m}.
  • Calcular A: A = 2\pi(0{,}015)(0{,}050)=0{,}0015\pi\\ \mathrm{m^{2}}.Avaliando numericamente, A \approx 0{,}0015\pi \approx 0{,}004712389\\ \mathrm{m^{2}}.

Passo 4

Conversão das temperaturas para kelvin.
  • Converter ^{\circ}\mathrm{C} para \mathrm{K} com T(\mathrm{K})=T(^{\circ}\mathrm{C})+273{,}15: T_{\mathrm{cil}}=19{,}0+273{,}15=292{,}15\\ \mathrm{K}, \qquad T_{\mathrm{amb}}=-4{,}0+273{,}15=269{,}15\\ \mathrm{K}.

Passo 5

Calcular T^{4} e a diferença \left(T_{\mathrm{cil}}^{4}-T_{\mathrm{amb}}^{4}\right).
  • Primeiro: T_{\mathrm{cil}}^{2}=(292{,}15)^{2}=85\,351{,}6225,
T_{\mathrm{cil}}^{4}=(85\,351{,}6225)^{2}\approx 7{,}284\,899\,463\times10^{9}.
  • Em seguida: T_{\mathrm{amb}}^{2}=(269{,}15)^{2}=72\,441{,}7225,
T_{\mathrm{amb}}^{4}=(72\,441{,}7225)^{2}\approx 5{,}247\,803\,159\times10^{9}.
  • Diferença: T_{\mathrm{cil}}^{4}-T_{\mathrm{amb}}^{4}\approx 2{,}037\,096\,304\times10^{9}\\ \mathrm{K^{4}}.

Passo 6

Calcular a potência líquida usando a fórmula.
  • Substituindo em \dot{Q}=\varepsilon\,\sigma\,A\left(T_{\mathrm{cil}}^{4}-T_{\mathrm{amb}}^{4}\right),temos numericamente: \dot{Q}=0{,}70\cdot(5{,}670374419\times10^{-8})\cdot(0{,}004712389)\cdot(2{,}037096304\times10^{9}).
  • Calcule passo a passo: \sigma\left(T_{\mathrm{cil}}^{4}-T_{\mathrm{amb}}^{4}\right)\approx 5{,}670374419\times10^{-8}\times 2{,}037096304\times10^{9} \approx 115{,}51098638\\ \mathrm{W\,m^{-2}}.
\text{Multiplicando pela área: }115{,}51098638\times0{,}004712389\approx 0{,}544332725\\ \mathrm{W}.á
\text{Multiplicando pela emissividade: }0{,}70\times0{,}544332725\approx 0{,}381032908\\ \mathrm{W}.

Passo 7

Interpretação e arredondamento final.
  • A potência líquida calculada é a taxa de energia que sai da superfície lateral do cilindro e vai para a neve. Como o cilindro está mais quente que a neve, a transferência líquida é do cilindro para a neve.
  • Arredondando com a precisão coerente com os dados (duas a três casas significativas), podemos reportar \dot{Q}\approx 0{,}381\\ \mathrm{W}.

Resposta

0,381\\ \mathrm{W}

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