Um oleoduto utilizado para o transporte de óleo cru está enterrado no solo de tal modo que seu eixo central se encontra a uma distância de 1,5 \mathrm{~m} abaixo da superfície. A tubulação do oleoduto é de aço cuja condutividade térmica é de 100 \mathrm{~W} / \mathrm{mK}. A tubulação possui um raio interno de 10 cm e um diâmetro externo de 0,50 \mathrm{~m}. A superfície externa da tubulação é revestida por uma camada cilíndrica de vidro celular de 100 mm de espessura. A temperatura da superfície do solo é de 0^{\circ} \mathrm{C}, a condutividade térmica do vidro celular igual a 0,058 \mathrm{~W} / \mathrm{mK} e a condutividade térmica do solo igual a 0,52 \mathrm{~W} / \mathrm{mK}. O óleo cru está a uma temperatura de 250^{\circ} \mathrm{C} e o coefíciente médio de transferência de calor por convecção entre o óleo e a superficie interna da tubulação de aço é de 200 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{k}. Determine a taxa térmica por unidade de comprimento do oleoduto entre o óleo cru e a superfície do solo.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele dá (peguei todos os números do enunciado).
  • Pedido: determinar a taxa térmica por unidade de comprimento do oleoduto entre o óleo cru (a 250^\circ\mathrm{C}) e a superfície do solo (a 0^\circ\mathrm{C}). Ou seja, calcular q' em \mathrm{W/m}.
  • Dados fornecidos:
    • Profundidade do eixo do oleoduto: 1,5\\ \mathrm{m} (distância do centro da tubulação até a superfície do solo).
    • Tubulação de aço:
      • raio interno: r_i = 0{,}10\\ \mathrm{m} (10 cm).
      • diâmetro externo da tubulação de aço: 0{,}50\\ \mathrm{m} \Rightarrow raio externo do aço r_{o,\text{aço}}=0{,}25\\ \mathrm{m}ç.
      • condutividade térmica do aço: k_{\text{aço}} = 100\\ \mathrm{W/(m\;K)}ç.
    • Revestimento (vidro celular):
      • espessura: 0{,}10\\ \mathrm{m} (100 mm).
      • condutividade térmica: k_{\text{isol}} = 0{,}058\\ \mathrm{W/(m\;K)}.
      • raio externo do isolamento r_{o,\text{isol}} = r_{o,\text{aço}} + 0{,}10 = 0{,}25 + 0{,}10 = 0{,}35\\ \mathrm{m}ç.
    • Solo:
      • condutividade térmica: k_{\text{solo}} = 0{,}52\\ \mathrm{W/(m\;K)}.
      • temperatura da superfície do solo: T_{\text{solo}} = 0^\circ\mathrm{C}.
    • Óleo:
      • temperatura do óleo: T_{\text{oil}} = 250^\circ\mathrm{C}.
      • coeficiente convectivo médio entre óleo e superfície interna da tubulação: h_i = 200\\ \mathrm{W/(m^2\;K)}.
  • Observação de modelagem (escolha do método): para calcular a taxa por unidade de comprimento usa-se o conceito de resistências térmicas em série na direção radial. Adota-se a aproximação de condução cilíndrica para a parede de aço e para o isolamento e, para o solo, aproxima-se o caminho térmico por condução radial do cilindro até uma “superfície” a uma distância igual à profundidade do eixo (ou seja, considera-se como fronteira radial a r = 1{,}5\\ \mathrm{m} com T = 0^\circ\mathrm{C}). Essa é uma aproximação clássica e adequada para enunciados desse tipo quando a superfície do solo está a uma distância notável da tubulação.

Passo 2

Apresentação das resistências térmicas e da fórmula geral.
A taxa térmica por unidade de comprimento q' é dada por
q'=\frac{T_{\text{oil}}-T_{\text{solo}}}{R_{\text{total}}},
onde R_{\text{total}} é a soma das resistências térmicas por unidade de comprimento entre o óleo e a superfície do solo:
R_{\text{total}}=R_{\text{conv,int}}+R_{\text{aço}}+R_{\text{isol}}+R_{\text{solo}}.ç
Agora as fórmulas individuais (todas as resistências são por unidade de comprimento, L=1\\ \mathrm{m}):
  • Resistência convectiva interna (óleo → superfície interna do tubo):
R_{\text{conv,int}}=\frac{1}{h_i\;2\pi r_i}.
Explicação: a resistência convectiva para superfície cilíndrica por comprimento unitário é 1/(h A') com A'=2\pi r_i (área por unidade de comprimento).
  • Resistência por condução através da parede cilíndrica de aço (do raio r_i até r_{o,\text{aço}}ç):
R_{\text{aço}}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{r_{o,\text{aço}}}{r_i}\right)}{2\pi k_{\text{aço}}}.ççç
Explicação: para condução radial em um cilindro, a expressão vem da solução da equação de condução em coordenadas cilíndricas.
  • Resistência por condução através do isolamento cilíndrico (de r_{o,\text{aço}}ç até r_{o,\text{isol}}):
R_{\text{isol}}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{r_{o,\text{isol}}}{r_{o,\text{aço}}}\right)}{2\pi k_{\text{isol}}}.ç
  • Resistência por condução no solo (aproximação radial do raio r_{o,\text{isol}} até r_{\text{sup}}, onde a fronteira térmica é tomada na superfície do solo a distância vertical 1{,}5\\ \mathrm{m} do eixo):
R_{\text{solo}}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{r_{\text{sup}}}{r_{o,\text{isol}}}\right)}{2\pi k_{\text{solo}}},
com r_{\text{sup}}=1{,}5\\ \mathrm{m}. Explicação: usamos a mesma fórmula de condução cilíndrica, tomando como limite externo o raio igual à profundidade até a superfície, uma aproximação comum quando a superfície plana é relativamente distante.

Passo 3

Cálculo numérico de cada resistência (vou mostrar as contas passo a passo).
  1. Resistência convectiva interna:
2\pi r_i = 2\pi(0{,}10)=0{,}2\pi\\ \mathrm{m}\approx 0{,}6283185\\ \mathrm{m}.
R_{\text{conv,int}}=\frac{1}{200\cdot 0{,}6283185} \approx 0{,}0079577\\ \mathrm{K\;W^{-1}\;m}.
  1. Resistência da parede de aço:
\frac{r_{o,\text{aço}}}{r_i}=\frac{0{,}25}{0{,}10}=2{,}5, \qquad \ln(2{,}5)\approx 0{,}9162907.ç
2\pi k_{\text{aço}}=2\pi\cdot 100\approx 628{,}3185\\ \mathrm{W/(m\;K)}.ç
R_{\text{aço}}=\frac{0{,}9162907}{628{,}3185}\approx 0{,}0014585\\ \mathrm{K\;W^{-1}\;m}.ç
  1. Resistência do isolamento (vidro celular):
\frac{r_{o,\text{isol}}}{r_{o,\text{aço}}}=\frac{0{,}35}{0{,}25}=1{,}4, \qquad \ln(1{,}4)\approx 0{,}3364722.ç
2\pi k_{\text{isol}}=2\pi\cdot 0{,}058\approx 0{,}364424\\ \mathrm{W/(m\;K)}.
R_{\text{isol}}=\frac{0{,}3364722}{0{,}364424}\approx 0{,}9238\\ \mathrm{K\;W^{-1}\;m}.
Comentário: essa resistência é a maior, porque k_{\text{isol}} é pequeno e a espessura relativa é significativa.
  1. Resistência do solo (aproximação radial até a superfície a 1{,}5\\ \mathrm{m}):
\frac{r_{\text{sup}}}{r_{o,\text{isol}}}=\frac{1{,}5}{0{,}35}=\frac{30}{7}\approx 4{,}285714, \qquad \ln\!\left(\frac{30}{7}\right)\approx 1{,}455287.
2\pi k_{\text{solo}}=2\pi\cdot 0{,}52\approx 3{,}267255\\ \mathrm{W/(m\;K)}.
R_{\text{solo}}=\frac{1{,}455287}{3{,}267255}\approx 0{,}4455\\ \mathrm{K\;W^{-1}\;m}.

Passo 4

Soma das resistências e cálculo da taxa térmica por unidade de comprimento.
Soma:
R_{\text{total}}=R_{\text{conv,int}}+R_{\text{aço}}+R_{\text{isol}}+R_{\text{solo}}ç
R_{\text{total}}\approx 0{,}0079577+0{,}0014585+0{,}9238+0{,}4455 \approx 1{,}3787\\ \mathrm{K\;W^{-1}\;m}.
Diferença de temperatura:
\Delta T = T_{\text{oil}}-T_{\text{solo}}=250^\circ\mathrm{C}-0^\circ\mathrm{C}=250\\ \mathrm{K}.
Portanto a taxa térmica por unidade de comprimento é
q'=\frac{\Delta T}{R_{\text{total}}}=\frac{250}{1{,}3787}\approx 181{,}3\\ \mathrm{W/m}.
Interpretação rápida: a maior resistência é a do isolamento (aprox. 0{,}924\\ \mathrm{K/W\cdot m}), daí a perda por metro fica relativamente baixa, cerca de 1{,}8\times 10^{2}\\ \mathrm{W/m}.

Resposta

181{,}3\\ \mathrm{W/m}

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