(2,0 pt) Determine a área da região do plano delimitada pela curva y^{2}=x-1 e pela reta x=3.

Passo 1

O enunciado dá a curva \,y^{2}=x-1\, e a reta \,x=3\, e pede a área da região do plano limitada por essas duas curvas. Informações úteis que o enunciado fornece:
  • A curva \,y^{2}=x-1\, é uma parábola com eixo horizontal e vértice em (1,0); vale para \,x\ge1.
  • A reta vertical é \,x=3.
  • Os pontos de interseção entre a parábola e a reta obtêm-se impondo x=3 em \,y^{2}=x-1, o que dá y^{2}=2 e portanto y=\pm\sqrt{2}.
    O que se pede: calcular a área da região limitada por essas curvas (é a região entre a parábola e a reta, para y entre -\sqrt{2} e \sqrt{2}).

Passo 2

Como calcular área entre curvas — ideia e escolha do método:
  • Se usar tiras verticais (fatias paralelas ao eixo y), a área é \displaystyle \int_{x_{\min}}^{x_{\max}}\big(\text{y\_top}(x)-\text{y\_bot}(x)\big)\,dx.
  • Se usar tiras horizontais (fatias paralelas ao eixo x), a área é \displaystyle \int_{y_{\min}}^{y_{\max}}\big(\text{x\_right}(y)-\text{x\_left}(y)\big)\,dy.
    Aqui a parábola é dada de forma conveniente como y=\pm\sqrt{x-1}, então usar vertical (integrar em x) fica simples: para 1\le x\le3 temos
\text{y\_top}(x)=\sqrt{x-1},\qquad \text{y\_bot}(x)=-\sqrt{x-1},
logo a altura da fatia é
\text{y\_top}-\text{y\_bot}=2\sqrt{x-1}.
Assim a área procurada é
\text{Área}=\int_{x=1}^{x=3}2\sqrt{x-1}\,dx.Á

Passo 3

Resolver a integral \displaystyle \int_{1}^{3}2\sqrt{x-1}\,dx passo a passo.
  • Primeiro escrevo \sqrt{x-1}=(x-1)^{1/2}, então
\text{Área}=2\int_{1}^{3}(x-1)^{1/2}\,dx.Á
  • Faço a substituição simples u=x-1. Então du=dx. Quando x=1 tem-se u=0; quando x=3 tem-se u=2. A integral fica
\text{Área}=2\int_{u=0}^{u=2}u^{1/2}\,du.Á
  • Uso a regra de potência para integrais: \displaystyle \int u^{p}\,du=\frac{u^{p+1}}{p+1}+C (válido para p\neq-1). Aqui p=\tfrac12, então
\int u^{1/2}\,du=\frac{u^{3/2}}{3/2}=\frac{2}{3}u^{3/2}.
  • Aplicando aos limites:
\text{Área}=2\cdot\left[\frac{2}{3}u^{3/2}\right]_{0}^{2}=2\cdot\frac{2}{3}\big(2^{3/2}-0\big)=\frac{4}{3}\,2^{3/2}.Á
  • Simplifico 2^{3/2}=2\sqrt{2}, então
\text{Área}=\frac{4}{3}\cdot 2\sqrt{2}=\frac{8\sqrt{2}}{3}.Á

Passo 4

Verificação alternativa (opcional, por tiras horizontais) — ajuda a fixar a ideia:
  • Em função de y, a parábola reescreve-se como x=y^{2}+1. Para cada y entre -\sqrt{2} e \sqrt{2} a abscissa à direita é x_{\text{right}}=3 e à esquerda é x_{\text{left}}=y^{2}+1.
  • Então
\text{Área}=\int_{y=-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}\big(3-(y^{2}+1)\big)\,dy=\int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}(2-y^{2})\,dy.Á
  • Usando simetria (a função integranda é par), isso vale
2\int_{0}^{\sqrt{2}}(2-y^{2})\,dy=2\Big[2y-\frac{y^{3}}{3}\Big]_{0}^{\sqrt{2}} =2\Big(2\sqrt{2}-\frac{(\sqrt{2})^{3}}{3}\Big).
  • Como (\sqrt{2})^{3}=2\sqrt{2}, obtemos
2\Big(2\sqrt{2}-\frac{2\sqrt{2}}{3}\Big)=2\cdot\frac{4\sqrt{2}}{3}=\frac{8\sqrt{2}}{3},
mesmo resultado — bom sinal de que está correto.

Resposta

\displaystyle \frac{8\sqrt{2}}{3}

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