(2,0 pt) Determine a área da região do plano delimitada pela curva
e pela reta
.
Passo 1
O enunciado dá a curva
e a reta
e pede a área da região do plano limitada por essas duas curvas. Informações úteis que o enunciado fornece:
- A curva
é uma parábola com eixo horizontal e vértice em ; vale para . - A reta vertical é
. - Os pontos de interseção entre a parábola e a reta obtêm-se impondo
em , o que dá e portanto .
O que se pede: calcular a área da região limitada por essas curvas (é a região entre a parábola e a reta, paraentre e ).
Passo 2
Como calcular área entre curvas — ideia e escolha do método:
- Se usar tiras verticais (fatias paralelas ao eixo
), a área é . - Se usar tiras horizontais (fatias paralelas ao eixo
), a área é .
Aqui a parábola é dada de forma conveniente como, então usar vertical (integrar em ) fica simples: para temos
logo a altura da fatia é
Assim a área procurada é
Passo 3
Resolver a integral
passo a passo.
- Primeiro escrevo
, então
- Faço a substituição simples
. Então . Quando tem-se ; quando tem-se . A integral fica
- Uso a regra de potência para integrais:
(válido para ). Aqui , então
- Aplicando aos limites:
- Simplifico
, então
Passo 4
Verificação alternativa (opcional, por tiras horizontais) — ajuda a fixar a ideia:
- Em função de
, a parábola reescreve-se como . Para cada entre e a abscissa à direita é e à esquerda é . - Então
- Usando simetria (a função integranda é par), isso vale
- Como
, obtemos
mesmo resultado — bom sinal de que está correto.