( 2,0 \mathrm{pt} ) Uma companhia de aluguel de caminhões possuía-os de dois tipos: o tipo A com 2 metros cúbicos de espaço refrigerado e 4 metros cúbicos de espaço não refrigerado e o tipo B com 3 metros cúbicos refrigerados e 3 não refrigerados.
Uma fábrica precisou transportar 90 metros cúbicos de produto refrigerado e 120 metros cúbicos de produto não refrigerado.
Quantos caminhões de cada tipo ela deve alugar, de modo a minimizar os custos, se o aluguel do caminhão A era \ 3.000 / caminhão e o doã\mathrm{B}, $4.000 /$ caminhão?

Passo 1

O enunciado pede que se escolha quantos caminhões de cada tipo alugar para transportar pelo menos certas quantidades de produto, minimizando o custo. Dados fornecidos:
  • Cada caminhão do tipo A tem (2) metros cúbicos de espaço refrigerado e (4) metros cúbicos de espaço não refrigerado.
  • Cada caminhão do tipo B tem (3) metros cúbicos de espaço refrigerado e (3) metros cúbicos de espaço não refrigerado.
  • A fábrica precisa transportar pelo menos (90) m³ de produto refrigerado e (120) m³ de produto não refrigerado.
  • Custo de aluguel: \$3000 por caminhão do tipo A e \$4000 por caminhão do tipo B.
    Pergunta pedida: quantos caminhões de cada tipo alugar para minimizar o custo, respeitando as necessidades de volume?

Passo 2

Definindo variáveis (passo crucial para transformar o enunciado em contas):
  • Seja x o número de caminhões do tipo A a alugar.
  • Seja y o número de caminhões do tipo B a alugar.
Explicação didática: escolher variáveis significa representar quantidades desconhecidas por símbolos; aqui queremos o número de caminhões de cada tipo, então atribuímos x e y. Essas variáveis devem ser números não negativos (não se pode alugar número negativo de caminhões).

Passo 3

Escrever as restrições de capacidade (transformando as frases em inequações):
  • Capacidade refrigerada total fornecida por x A e y B é (2x+3y) m³. Como é preciso transportar pelo menos (90) m³, temos a restrição
2x+3y \ge 90.
  • Capacidade não refrigerada total é (4x+3y) m³. Como é preciso pelo menos (120) m³, temos
4x+3y \ge 120.
Além disso
x \ge 0,\qquad y \ge 0.
Explicação didática: para cada A somam-se (2) na bandeja refrigerada etc.; somando contribuições de todos os caminhões obtemos as expressões lineares acima.

Passo 4

Escrever a função custo que queremos minimizar:
  • Custo total C em reais é dado por
C(x,y)=3000x+4000y.
Explicação didática: o custo total é soma do custo por caminhão vezes quantos caminhões de cada tipo são alugados.

Passo 5

Ideia de método (explicação do que vamos usar): trata-se de um problema de programação linear com duas variáveis. Uma propriedade importante (teorema dos vértices): para problemas de minimizar (ou maximizar) uma função linear sujeita a restrições lineares, uma solução ótima ocorre em um vértice (ponto extremo) da região viável (o conjunto de pontos que satisfazem as restrições). Assim basta verificar os pontos extremos da região admissível.
Explicação didática: a região viável é o conjunto de pares (x,y) que atendem às duas desigualdades. Como as desigualdades são lineares, essa região é um polígono convexo (aqui semi-infinito para cima/direita). Os candidatos ao mínimo do custo são os pontos onde duas restrições se cruzam (vértices), ou interseções com os eixos quando relevantes.

Passo 6

Encontrar os pontos extremos relevantes: interseção das duas retas (quando ambas restrições são iguais), e interseções com os eixos (quando um tipo de caminhão é zero). Primeiro, resolvemos o sistema obtido igualando as duas restrições (assumindo ambas ativas):
\begin{cases} 2x+3y=90,\\[4pt] 4x+3y=120. \end{cases}
Vou resolver esse sistema por subtração (método simples e seguro): subtrai a primeira equação da segunda para eliminar y.
(4x+3y)-(2x+3y)=120-90.
No lado esquerdo 4x+3y-2x-3y=2x. No direito 120-90=30. Logo
2x=30 \quad\Rightarrow\quad x=15.
Agora substituo x=15 em uma das equações, por exemplo na primeira:
2\cdot 15+3y=90 \quad\Rightarrow\quad 30+3y=90 \quad\Rightarrow\quad 3y=60 \quad\Rightarrow\quad y=20.
Portanto a interseção é o ponto (x,y)=(15,20).]

Passo 7

Calcular o custo nesse vértice:
C(15,20)=3000\cdot 15 + 4000\cdot 20.
Faço as multiplicações passo a passo:
3000\cdot 15 = 45\,000,\qquad 4000\cdot 20 = 80\,000.
Somando,
C(15,20)=45\,000+80\,000=125\,000.

Passo 8

Verificar outros vértices possíveis para garantir que não existe ponto com custo menor:
  • Caso x=0 (nenhum caminhão A): as restrições tornam-se
3y \ge 90 \Rightarrow y \ge 30,\qquad 3y \ge 120 \Rightarrow y \ge 40.
Para satisfazer ambas precisa y\ge 40. O menor inteiro possível é y=40. Custo:
C(0,40)=3000\cdot 0 + 4000\cdot 40 = 160\,000.
  • Caso y=0 (nenhum caminhão B): as restrições tornam-se
2x \ge 90 \Rightarrow x \ge 45,\qquad 4x \ge 120 \Rightarrow x \ge 30.
Para satisfazer ambas precisa x\ge 45. O menor inteiro possível é x=45. Custo:
C(45,0)=3000\cdot 45 + 4000\cdot 0 = 135\,000.
Comparando os custos:
C(15,20)=125\,000,\quad C(0,40)=160\,000,\quad C(45,0)=135\,000.
Portanto o menor custo entre esses vértices é \$125\,000, obtido em (15,20).
Explicação didática: como o custo é linear e a região viável é convexa, o mínimo ocorreu num vértice. Checamos todos os vértices relevantes e escolhemos o menor custo.

Passo 9

Verificação da integridade da solução quanto à exigência prática (número de caminhões inteiro): as quantidades encontradas x=15 e y=20 são inteiras e não-negativas, logo são admissíveis na prática. Além disso, verifico rapidamente as capacidades totais:
\text{Refrigerado: }2\cdot 15 + 3\cdot 20 = 30 + 60 = 90\\ (\text{atende exatamente}).
\text{Não refrigerado: }4\cdot 15 + 3\cdot 20 = 60 + 60 = 120\\ (\text{atende exatamente}).ã
Assim ambas as necessidades são satisfeitas com igualdade (nenhum desperdício extra de capacidade necessário).

Resposta

15 caminhões do tipo A\n 20 caminhões do tipo B

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