Medidas de resistência ao cisalhamento obtidas em ensaios de compressão não confinada para dois tipos de solo são apresentadas na tabela (em toneladas por metro quadrado). Verifique se os solos diferem quanto à resistência média ao cisalhamento, ao nível de significância de
.
Solo Tipo I
Solo Tipo II
| Solo Tipo I | Solo Tipo II |
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Passo 1
O enunciado fornece medidas de resistência ao cisalhamento para dois tipos de solo. Vou listar claramente o que foi dado e o que se pede (peguei todos os números do enunciado):
-
Para o Solo Tipo I:
-
-
(toneladas por metro quadrado) -
-
-
Para o Solo Tipo II:
-
-
(toneladas por metro quadrado) -
-
O que o enunciado pede:
- Verificar, ao nível de significância de
( ), se os solos diferem quanto à resistência média ao cisalhamento. - Em outras palavras: testar se existe diferença significativa entre as médias
e dos dois solos.
Passo 2
Escolha do método (explicação): o enunciado não especifica suposição sobre variâncias iguais. Temos amostras razoavelmente grandes (
,
), o que ajuda pela aproximação assintótica; entretanto, para ser conservador e não assumir variâncias iguais, uso o teste t de duas amostras sem pressupor variâncias iguais (teste de Welch). Esse teste é apropriado quando:
- as amostras são independentes (pressuposição implicada pelo enunciado de ensaios separados),
- as amostras são suficientemente grandes para evitar problemas graves com não-normalidade,
- não é necessário assumir
.
Passo 3
Formulação das hipóteses (teste bilateral, pois queremos saber se as médias diferem, qualquer direção):
Nível de significância:
(teste bilateral, então cada cauda terá nível
).
Passo 4
Fórmula do estatístico de teste (explicação do que é cada termo):
-
são as médias amostrais. -
são as variâncias amostrais ( são os desvios-padrão amostrais). -
são os tamanhos amostrais.
O estatístico de Welch é
Esse
mede quantos erros-padrão separaram as médias amostrais. Quanto maior
, mais evidência contra
.
Passo 5
Calcular o erro padrão (passo a passo das contas):
- Primeiro calcule
e : - Agora calcule as parcelas
e :
- Soma e raiz para obter o erro padrão:
Passo 6
Calcular o valor do estatístico
:
- Diferença das médias:
- Então
Passo 7
Cálculo dos graus de liberdade aproximados (fórmula de Welch — explico o porquê: quando não assumimos variâncias iguais, os graus de liberdade não são simplesmente
; usa-se a fórmula de Welch para uma aproximação):
Agora as contas (mostrando os números usados):
-
. -
. - Denominador:
- Numerador (o quadrado da soma já calculada):
- Logo
Arredondamos
para aproximadamente
graus de liberdade.
Passo 8
Regra de decisão e comparação com valor crítico:
- Para teste bilateral com
e , o valor crítico é . Pelas tabelas de Student, (valores tabelados para df próximos a 60 dão números muito parecidos). - Regra: rejeitar
se . - Aqui
e . Portanto rejeitamos .
Passo 9
Cálculo aproximado do p-valor e interpretação:
- O p-valor bilateral é
. Com e , o p-valor fica bem pequeno, menor que (tabelas e aproximação normal mostram que para valores de nessa faixa o p-valor é muito inferior a ). - Conclusão prática: existem evidências estatísticas fortes, ao nível
, de que as médias diferem.
Passo 10
Interpretação final em linguagem simples e motivadora:
- Numericamente encontramos diferença amostral de
(toneladas/m²) entre as médias, com um erro-padrão de aproximadamente , o que gerou um alto ( ). Isso significa que a diferença observada é improvável de acontecer apenas por variação amostral aleatória. - Portanto, com confiança ao nível de
( ), concluímos que os solos diferem quanto à resistência média ao cisalhamento. Boa! Isso é uma conclusão estatística robusta — dá pra levar pra prova com calma.
Resposta
Sim. Rejeita-se
; há diferença estatisticamente significativa entre as médias ao nível de
(
,
,
).