Medidas de resistência ao cisalhamento obtidas em ensaios de compressão não confinada para dois tipos de solo são apresentadas na tabela (em toneladas por metro quadrado). Verifique se os solos diferem quanto à resistência média ao cisalhamento, ao nível de significância de 1 \%.
Solo Tipo I Solo Tipo II
n_{1}=30 n_{2}=35
\bar{y}_{1}=1.65 \bar{y}_{2}=1.43
s_{1}=0.26 s_{2}=0.22

Passo 1

O enunciado fornece medidas de resistência ao cisalhamento para dois tipos de solo. Vou listar claramente o que foi dado e o que se pede (peguei todos os números do enunciado):
  • Para o Solo Tipo I:
    • n_{1}=30
    • \bar{y}_{1}=1,65 (toneladas por metro quadrado)
    • s_{1}=0,26
  • Para o Solo Tipo II:
    • n_{2}=35
    • \bar{y}_{2}=1,43 (toneladas por metro quadrado)
    • s_{2}=0,22
O que o enunciado pede:
  • Verificar, ao nível de significância de 1\% ( \alpha=0,01), se os solos diferem quanto à resistência média ao cisalhamento.
  • Em outras palavras: testar se existe diferença significativa entre as médias \mu_1 e \mu_2 dos dois solos.

Passo 2

Escolha do método (explicação): o enunciado não especifica suposição sobre variâncias iguais. Temos amostras razoavelmente grandes ( n_1=30, n_2=35), o que ajuda pela aproximação assintótica; entretanto, para ser conservador e não assumir variâncias iguais, uso o teste t de duas amostras sem pressupor variâncias iguais (teste de Welch). Esse teste é apropriado quando:
  • as amostras são independentes (pressuposição implicada pelo enunciado de ensaios separados),
  • as amostras são suficientemente grandes para evitar problemas graves com não-normalidade,
  • não é necessário assumir \sigma_1^2 = \sigma_2^2.

Passo 3

Formulação das hipóteses (teste bilateral, pois queremos saber se as médias diferem, qualquer direção):
H_0: \mu_1=\mu_2
H_a: \mu_1\neq\mu_2
Nível de significância: \alpha=0,01 (teste bilateral, então cada cauda terá nível \alpha/2=0,005).

Passo 4

Fórmula do estatístico de teste (explicação do que é cada termo):
  • \bar{y}_1,\bar{y}_2 são as médias amostrais.
  • s_1^2,s_2^2 são as variâncias amostrais ( s_1,s_2 são os desvios-padrão amostrais).
  • n_1,n_2 são os tamanhos amostrais.
    O estatístico de Welch é
t = \frac{\bar{y}_1-\bar{y}_2}{\sqrt{\dfrac{s_1^2}{n_1}+\dfrac{s_2^2}{n_2}}}.
Esse t mede quantos erros-padrão separaram as médias amostrais. Quanto maior |t|, mais evidência contra H_0.

Passo 5

Calcular o erro padrão (passo a passo das contas):
  • Primeiro calcule s_1^2 e s_2^2: s_1^2 = (0,26)^2 = 0,0676, \qquad s_2^2 = (0,22)^2 = 0,0484.
  • Agora calcule as parcelas s_1^2/n_1 e s_2^2/n_2: \frac{s_1^2}{n_1}=\frac{0,0676}{30}=0,002253333\ldots
\frac{s_2^2}{n_2}=\frac{0,0484}{35}=0,001382857\ldots
  • Soma e raiz para obter o erro padrão: \frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}=0,003636190\ldots
\text{erro padrão}=\sqrt{0,003636190\ldots}=0,06033\\ (\text{aprox.})ã

Passo 6

Calcular o valor do estatístico t:
  • Diferença das médias: \bar{y}_1-\bar{y}_2 = 1,65-1,43 = 0,22.
  • Então t=\frac{0,22}{0,06033}\approx 3,65.

Passo 7

Cálculo dos graus de liberdade aproximados (fórmula de Welch — explico o porquê: quando não assumimos variâncias iguais, os graus de liberdade não são simplesmente n_1+n_2-2; usa-se a fórmula de Welch para uma aproximação):
\nu \approx \frac{\left(\dfrac{s_1^2}{n_1}+\dfrac{s_2^2}{n_2}\right)^2}{\dfrac{s_1^4}{n_1^2(n_1-1)}+\dfrac{s_2^4}{n_2^2(n_2-1)}}.
Agora as contas (mostrando os números usados):
  • s_1^4=(0,0676)^2=0,00457176.
  • s_2^4=(0,0484)^2=0,00234256.
  • Denominador: \frac{0,00457176}{30^2\cdot29}+\frac{0,00234256}{35^2\cdot34} =\frac{0,00457176}{26100}+\frac{0,00234256}{41650} \approx 1{,}7524\times10^{-7}+5{,}6242\times10^{-8} \approx 2{,}3148\times10^{-7}.
  • Numerador (o quadrado da soma já calculada): \left(0,003636190\ldots\right)^2 \approx 0,000013223.
  • Logo \nu \approx \frac{0,000013223}{2{,}3148\times10^{-7}}\approx 57{,}1.
Arredondamos \nu para aproximadamente 57 graus de liberdade.

Passo 8

Regra de decisão e comparação com valor crítico:
  • Para teste bilateral com \alpha=0,01 e \nu\approx57, o valor crítico é t_{0,005,\;57}. Pelas tabelas de Student, t_{0,005,\;57}\approx 2,66 (valores tabelados para df próximos a 60 dão números muito parecidos).
  • Regra: rejeitar H_0 se |t|>t_{0,005,\nu}.
  • Aqui |t|\approx 3,65 e 3,65>2,66. Portanto rejeitamos H_0.

Passo 9

Cálculo aproximado do p-valor e interpretação:
  • O p-valor bilateral é p = 2\left[1 - F_{t,\nu}(|t|)\right]. Com t\approx3,65 e \nu\approx57, o p-valor fica bem pequeno, menor que 0,001 (tabelas e aproximação normal mostram que para valores de t nessa faixa o p-valor é muito inferior a 0,01).
  • Conclusão prática: existem evidências estatísticas fortes, ao nível 1\%, de que as médias diferem.

Passo 10

Interpretação final em linguagem simples e motivadora:
  • Numericamente encontramos diferença amostral de 0,22 (toneladas/m²) entre as médias, com um erro-padrão de aproximadamente 0,0603, o que gerou um t alto ( \approx3,65). Isso significa que a diferença observada é improvável de acontecer apenas por variação amostral aleatória.
  • Portanto, com confiança ao nível de 99\% ( \alpha=0,01), concluímos que os solos diferem quanto à resistência média ao cisalhamento. Boa! Isso é uma conclusão estatística robusta — dá pra levar pra prova com calma.

Resposta

Sim. Rejeita-se H_0; há diferença estatisticamente significativa entre as médias ao nível de 1\% ( t\approx3,65, \text{gl}\approx57, p<0,001 ).

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