Use o PIF para estabelecer que, para todo inteiropositivo.
.
Passo 1
O que o enunciado pede e quais informações temos.
- O enunciado pede para provar que, para todo inteiro positivo
, vale a igualdade
- As informações dadas:
é um número qualquer (pode ser real, complexo ou um símbolo) e é um inteiro positivo. - A tarefa é estabelecer a igualdade para todo
.
Passo 2
Explicando o método que vamos usar: o Princípio da Indução Finita (PIF).
- O PIF funciona em duas etapas:
- Base da indução: provar que a afirmação é verdadeira para o primeiro inteiro positivo (aqui
). - Passo indutivo: assumir que a afirmação é verdadeira para um inteiro arbitrário
(hipótese de indução) e então provar que isso implica que a afirmação é verdadeira para .
- Base da indução: provar que a afirmação é verdadeira para o primeiro inteiro positivo (aqui
- Se ambas as etapas são feitas corretamente, concluímos que a afirmação vale para todo inteiro positivo
. - Vou aplicar exatamente essas duas etapas, mostrando cada conta devagarinho para ficar claro como proceder numa prova por indução numa prova de exame.
Passo 3
Base da indução: verificar
.
- Calcular o lado esquerdo para
:
- Calcular o lado direito para
:
- Conclusão da base:
, logo a igualdade é verdadeira para .
Passo 4
Hipótese de indução.
- Seja
um inteiro positivo arbitrário. Suponha (hipótese de indução) que a igualdade seja verdadeira para , isto é, suponha que
- Vou usar essa hipótese para provar a igualdade para
.
Passo 5
Objetivo do passo indutivo e início da manipulação algébrica.
- Quero mostrar que
- Começo manipulando o lado esquerdo:
- Reescrevo isolando
:
(Explicação rápida: expandindo o primeiro termo dá
, somando
recupera
.)
Passo 6
Aplicar a hipótese de indução e fatorar.
- Pela hipótese de indução,
, onde
- Substituindo em
obtemos:
- Colocando
em evidência:
Passo 7
Mostrar que
é exatamente a soma pedida para
.
- Escrevendo
explicitamente:
- Multiplicando por
(cada termo tem seu expoente aumentado em ):
- Somando
ao lado:
que é exatamente a soma geométrica de
termos pedida no enunciado.
- Portanto voltando à expressão do Passo 6:
Isto mostra que, se a afirmação vale para
, então vale também para
.
Passo 8
Conclusão por indução e observações finais.
- Temos a base (Passo 3) e o passo indutivo (Passos 4–7). Pelo Princípio da Indução Finita, a igualdade é verdadeira para todo
. - Observação útil: a prova não usa nenhuma propriedade especial de
além de permitir as operações algébricas; portanto vale para qualquer (incluindo , caso em que ambos os lados são ).