Use o PIF para estabelecer que, para todo inteiropositivo.
a^{n}-1=(a-1)\left(a^{n-1}+a^{n-2}+a^{n-3}+\cdots+a+1\right).

Passo 1

O que o enunciado pede e quais informações temos.
  • O enunciado pede para provar que, para todo inteiro positivo n, vale a igualdade
a^{n}-1=(a-1)\bigl(a^{n-1}+a^{n-2}+\cdots+a+1\bigr).
  • As informações dadas: a é um número qualquer (pode ser real, complexo ou um símbolo) e n é um inteiro positivo.
  • A tarefa é estabelecer a igualdade para todo n\in\mathbb{Z}_{>0}.

Passo 2

Explicando o método que vamos usar: o Princípio da Indução Finita (PIF).
  • O PIF funciona em duas etapas:
    1. Base da indução: provar que a afirmação é verdadeira para o primeiro inteiro positivo (aqui n=1).
    2. Passo indutivo: assumir que a afirmação é verdadeira para um inteiro arbitrário k\ge1 (hipótese de indução) e então provar que isso implica que a afirmação é verdadeira para k+1.
  • Se ambas as etapas são feitas corretamente, concluímos que a afirmação vale para todo inteiro positivo n.
  • Vou aplicar exatamente essas duas etapas, mostrando cada conta devagarinho para ficar claro como proceder numa prova por indução numa prova de exame.

Passo 3

Base da indução: verificar n=1.
  • Calcular o lado esquerdo para n=1:
\text{LHS} = a^{1}-1 = a-1.
  • Calcular o lado direito para n=1:
\text{RHS} = (a-1)\bigl(a^{1-1}+\cdots+1\bigr) = (a-1)\bigl(a^{0}\bigr) = (a-1)\cdot 1 = a-1.
  • Conclusão da base: \text{LHS}=\text{RHS}, logo a igualdade é verdadeira para n=1.

Passo 4

Hipótese de indução.
  • Seja k um inteiro positivo arbitrário. Suponha (hipótese de indução) que a igualdade seja verdadeira para n=k, isto é, suponha que
a^{k}-1=(a-1)\bigl(a^{k-1}+a^{k-2}+\cdots+a+1\bigr).
  • Vou usar essa hipótese para provar a igualdade para n=k+1.

Passo 5

Objetivo do passo indutivo e início da manipulação algébrica.
  • Quero mostrar que
a^{k+1}-1=(a-1)\bigl(a^{k}+a^{k-1}+\cdots+a+1\bigr).
  • Começo manipulando o lado esquerdo:
a^{k+1}-1 = a\cdot a^{k} - 1.
  • Reescrevo isolando a^{k}-1:
a^{k+1}-1 = a\bigl(a^{k}-1\bigr) + \bigl(a-1\bigr).
(Explicação rápida: expandindo o primeiro termo dá a\cdot a^{k} - a, somando a-1 recupera a^{k+1}-1.)

Passo 6

Aplicar a hipótese de indução e fatorar.
  • Pela hipótese de indução, a^{k}-1=(a-1)S_k, onde
S_k = a^{k-1}+a^{k-2}+\cdots+a+1.
  • Substituindo em a^{k+1}-1 = a\bigl(a^{k}-1\bigr) + (a-1) obtemos:
a^{k+1}-1 = a\bigl((a-1)S_k\bigr) + (a-1).
  • Colocando (a-1) em evidência:
a^{k+1}-1 = (a-1)\bigl(a S_k + 1\bigr).

Passo 7

Mostrar que a S_k + 1 é exatamente a soma pedida para n=k+1.
  • Escrevendo S_k explicitamente:
S_k = a^{k-1}+a^{k-2}+\cdots+a+1.
  • Multiplicando por a (cada termo tem seu expoente aumentado em 1):
a S_k = a^{k}+a^{k-1}+\cdots+a^{2}+a.
  • Somando 1 ao lado:
a S_k + 1 = a^{k}+a^{k-1}+\cdots+a^{2}+a + 1 = a^{k}+a^{k-1}+\cdots+a+1,
que é exatamente a soma geométrica de k+1 termos pedida no enunciado.
  • Portanto voltando à expressão do Passo 6:
a^{k+1}-1 = (a-1)\bigl(a^{k}+a^{k-1}+\cdots+a+1\bigr).
Isto mostra que, se a afirmação vale para n=k, então vale também para n=k+1.

Passo 8

Conclusão por indução e observações finais.
  • Temos a base (Passo 3) e o passo indutivo (Passos 4–7). Pelo Princípio da Indução Finita, a igualdade é verdadeira para todo n\in\mathbb{Z}_{>0}.
  • Observação útil: a prova não usa nenhuma propriedade especial de a além de permitir as operações algébricas; portanto vale para qualquer a (incluindo a=1, caso em que ambos os lados são 0).

Resposta

a^{n}-1=(a-1)\bigl(a^{n-1}+a^{n-2}+\cdots+a+1\bigr)

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