(2,0) \mathrm{Em} um experimento de dupla fenda, a distância entre as fendas é 91 vezes maior que o comprimento de onda usado para iluminá-las. A tela está situada a 58 cm das fendas
(a) Qual é o ângulo formado entre o máximo de ordem 1 e o eixo central?
(b) Qual é a distância entre o máximo central e o máximo de ordem 1 ?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) o ângulo entre o máximo de ordem 1 e o eixo central;
  • (b) a distância entre o máximo central e o máximo de ordem 1 na tela.
Informações dadas (extraídas do enunciado):
d = 91\lambda
L = 58\\ \text{cm}
Também sabemos que queremos o máximo de ordem m=1.

Passo 2

Princípio usado (explicação didática): em um experimento de dupla fenda, máximos de interferência construtiva ocorrem quando a diferença de caminho entre as ondas que saem das duas fendas é um múltiplo inteiro do comprimento de onda. A condição matemática é
d\sin\theta = m\lambda,
onde:
  • d é a distância entre as fendas;
  • \theta é o ângulo medido a partir do eixo central até o máximo desejado;
  • m é a ordem do máximo (um número inteiro: 0,\pm1,\pm2,\dots);
  • \lambda é o comprimento de onda.
Aqui queremos o máximo de ordem m=1. Substituindo d=91\lambda na condição da interferência, obtemos:
91\lambda\sin\theta = 1\cdot\lambda.
Cancelando \lambda (desde que \lambda\neq0), vem
\sin\theta = \frac{1}{91}.

Passo 3

Cálculo do ângulo \theta (passo a passo):
\sin\theta = \frac{1}{91}\approx 0,0109890.
Para encontrar \theta em graus tomamos o arco-seno:
\theta = \arcsin\!\left(\frac{1}{91}\right).
Como \sin\theta é pequeno, \theta também é pequeno e \arcsin(x)\approx x em radianos; convertendo para graus:
\theta \approx 0,0109890\\ \text{rad}\times\frac{180}{\pi}\approx 0,630^\circ.
(Usei a aproximação \frac{180}{\pi}\approx 57,2958 para converter radianos em graus.)

Passo 4

Cálculo da distância y no anteparo entre o máximo central e o máximo de ordem 1 (explicação e derivação):
Geometria: o ponto do máximo de ordem 1 está a uma distância vertical y do máximo central, com
y = L\tan\theta,
onde L é a distância fendas–tela. Aqui L=58\\ \text{cm}.
Para calcular \tan\theta a partir de \sin\theta usamos a identidade
\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\sqrt{1-\sin^2\theta}}.
Substituindo \sin\theta=\dfrac{1}{91}:
\sin^2\theta=\left(\frac{1}{91}\right)^2\approx 0,000120758,
\sqrt{1-\sin^2\theta}\approx\sqrt{0,999879242}\approx 0,999939621,
\tan\theta\approx\frac{0,010989011}{0,999939621}\approx 0,0109897.
Agora:
y = L\tan\theta = 58\\ \text{cm}\times 0,0109897 \approx 0,637\\ \text{cm}.

Passo 5

Verificação rápida (pequeno ângulo): para ângulos pequenos podemos aproximar \tan\theta\approx\sin\theta, então
y \approx L\sin\theta = 58\\ \text{cm}\times\frac{1}{91}\approx 0,637\\ \text{cm},
o que confirma o cálculo anterior. Em unidades mais usuais:
0,637\\ \text{cm}=6,37\\ \text{mm}.

Resposta

\theta \approx 0,630^\circ
y \approx 0,637\\ \text{cm} \; (=6,37\\ \text{mm})

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