Considere uma partícula com massa m\) presa em um poço de potencial:
\[V(x)= \begin{cases}0 & \text { para } 0 \leq x \leq L \\\ \infty & \text { para outro caso }\end{cases}
Sabendo que a função da onda da partícula é: \psi_{n}(x)=\sqrt{\frac{2}{L}} \sin \left(\frac{n \pi x}{L}\right) ; n=1,2,3, \ldots\]
a) Calcule o espectro das energias da partícula \(E_{n}
b) Qual é a probabilidade de encontrar a partícula entre \mathrm{x}=0 e \mathrm{x}=\mathrm{L} / 4, caso ela esteja no estado fundamental?
Passo 1
O enunciado dá uma partícula confina em um poço infinito entre x=0\) e \(x=L\) com
\[V(x)= \begin{cases}0 & \text{para } 0 \le x \le L,\\\ \infty & \text{caso contrário.}\end{cases}
Calcular o espectro de energias E_{n}\] da partícula (ou seja, a expressão de \(E_n em função de n,m,L,\hbar).
Calcular a probabilidade de encontrar a partícula entre x=0 e x=L/4 quando ela está no estado fundamental (ou seja, n=1).
Eu tenho as condições de contorno embutidas na descrição do poço infinito (a função de onda deve ser zero fora do intervalo e, em particular, em x=0 e x=L). Não há outras informações faltando.
Passo 2
Vamos escrever a equação de Schrödinger independente do tempo dentro da região onde V(x)=0. A equação é
Comentário didático curto: essa expressão mostra que as energias são quantizadas e crescem como n^{2}. A razão física é que as condições de contorno no poço impõem que somente ondas estacionárias com comprimentos de onda compatíveis com o tamanho L são permitidas.
Passo 7
Agora parte (b): queremos a probabilidade de encontrar a partícula no intervalo 0\le x\le L/4 quando ela está no estado fundamental (n=1). A probabilidade é dada por
P = \int_{0}^{L/4} |\psi_{1}(x)|^{2}\,dx.
Como \psi_{1}(x) é real e igual à função fornecida com n=1,
Essa é a expressão exata. Podemos também dar um valor aproximado para intuição:
\frac{1}{4}-\frac{1}{2\pi}\approx 0{,}0908.
Interpretação rápida e amigável: no estado fundamental a densidade de probabilidade está concentrada mais ao centro do poço, por isso a probabilidade de encontrar a partícula tão perto da borda (0 a L/4) é relativamente pequena.