Considere uma partícula com massa m\) presa em um poço de potencial: \[V(x)= \begin{cases}0 & \text { para } 0 \leq x \leq L \\\ \infty & \text { para outro caso }\end{cases}
Sabendo que a função da onda da partícula é:
\psi_{n}(x)=\sqrt{\frac{2}{L}} \sin \left(\frac{n \pi x}{L}\right) ; n=1,2,3, \ldots\] a) Calcule o espectro das energias da partícula \(E_{n}
b) Qual é a probabilidade de encontrar a partícula entre \mathrm{x}=0 e \mathrm{x}=\mathrm{L} / 4, caso ela esteja no estado fundamental?

Passo 1

O enunciado dá uma partícula confina em um poço infinito entre x=0\) e \(x=L\) com \[V(x)= \begin{cases}0 & \text{para } 0 \le x \le L,\\\ \infty & \text{caso contrário.}\end{cases}
A função de onda estacionária fornecida é
\psi_{n}(x)=\sqrt{\frac{2}{L}} \sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right),\qquad n=1,2,3,\ldots
As perguntas são:
  1. Calcular o espectro de energias E_{n}\] da partícula (ou seja, a expressão de \(E_n em função de n,m,L,\hbar).
  2. Calcular a probabilidade de encontrar a partícula entre x=0 e x=L/4 quando ela está no estado fundamental (ou seja, n=1).
Eu tenho as condições de contorno embutidas na descrição do poço infinito (a função de onda deve ser zero fora do intervalo e, em particular, em x=0 e x=L). Não há outras informações faltando.

Passo 2

Vamos escrever a equação de Schrödinger independente do tempo dentro da região onde V(x)=0. A equação é
-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}} = E\psi.
Aqui:
  • \hbar é a constante de Planck reduzida,
  • m é a massa da partícula,
  • E é a energia (autovalor) associada à função de onda \psi.
Essa equação é simplesmente a forma para uma partícula livre (potencial zero) dentro do poço.

Passo 3

A equação diferential em Passo 2 pode ser reescrita como
\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}} + k^{2}\psi = 0,
onde definimos o número de onda
k \equiv \sqrt{\frac{2mE}{\hbar^{2}}}.
A solução geral dessa equação é combinação de senos e cossenos:
\psi(x)=A\sin(kx)+B\cos(kx).

Passo 4

Aplicamos as condições de contorno do poço infinito:
  • Fora do intervalo [0,L] a função de onda deve ser zero, então em particular \psi(0)=0 e \psi(L)=0.
    Primeiro, \psi(0)=0 implica
\psi(0)=A\sin(0)+B\cos(0)=B=0,
logo B=0 e a solução interna reduz a
\psi(x)=A\sin(kx).
Em seguida, \psi(L)=0
\psi(L)=A\sin(kL)=0.
Para uma solução não-trivial ( A\neq 0) devemos ter
\sin(kL)=0 \quad\Rightarrow\quad kL = n\pi,\qquad n=1,2,3,\ldots
(Aqui n=0 corresponderia à função nula, que não é um estado físico aceitável.)

Passo 5

Da condição kL=n\pi obtemos o quantização de k:
k = \frac{n\pi}{L}.
Lembrando a definição de k em termos de E,
\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^{2}}} = \frac{n\pi}{L}.
Resolvendo para E encontramos a expressão do espectro de energias:
E_{n} = \frac{\hbar^{2}k^{2}}{2m} = \frac{\hbar^{2}}{2m}\left(\frac{n\pi}{L}\right)^{2}.

Passo 6

Escrevendo a resposta de forma mais explícita e limpa:
E_{n} = \frac{n^{2}\pi^{2}\hbar^{2}}{2mL^{2}},\qquad n=1,2,3,\ldots
Comentário didático curto: essa expressão mostra que as energias são quantizadas e crescem como n^{2}. A razão física é que as condições de contorno no poço impõem que somente ondas estacionárias com comprimentos de onda compatíveis com o tamanho L são permitidas.

Passo 7

Agora parte (b): queremos a probabilidade de encontrar a partícula no intervalo 0\le x\le L/4 quando ela está no estado fundamental ( n=1). A probabilidade é dada por
P = \int_{0}^{L/4} |\psi_{1}(x)|^{2}\,dx.
Como \psi_{1}(x) é real e igual à função fornecida com n=1,
\psi_{1}(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin\!\left(\frac{\pi x}{L}\right),
temos
|\psi_{1}(x)|^{2}=\frac{2}{L}\sin^{2}\!\left(\frac{\pi x}{L}\right).

Passo 8

Montando a integral da probabilidade:
P=\int_{0}^{L/4}\frac{2}{L}\sin^{2}\!\left(\frac{\pi x}{L}\right)\,dx.
Para calcular essa integral, usamos a identidade trigonométrica
\sin^{2}\theta = \frac{1-\cos(2\theta)}{2}.
Substituindo \theta=\frac{\pi x}{L} obtemos
\sin^{2}\!\left(\frac{\pi x}{L}\right)=\frac{1-\cos\!\left(\frac{2\pi x}{L}\right)}{2}.

Passo 9

Aplicando a identidade dentro da integral:
P=\int_{0}^{L/4}\frac{2}{L}\cdot\frac{1-\cos\!\left(\frac{2\pi x}{L}\right)}{2}\,dx = \frac{1}{L}\int_{0}^{L/4}\left[1-\cos\!\left(\frac{2\pi x}{L}\right)\right]dx.
Agora calculamos a integral termo a termo:
\int_{0}^{L/4} 1\,dx = \frac{L}{4},
e
\int_{0}^{L/4}\cos\!\left(\frac{2\pi x}{L}\right)dx = \left.\frac{L}{2\pi}\sin\!\left(\frac{2\pi x}{L}\right)\right|_{0}^{L/4} = \frac{L}{2\pi}\sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right)-0 = \frac{L}{2\pi}\cdot 1 = \frac{L}{2\pi}.

Passo 10

Substituindo esses resultados em P:
P=\frac{1}{L}\left(\frac{L}{4}-\frac{L}{2\pi}\right) = \frac{1}{4}-\frac{1}{2\pi}.
Essa é a expressão exata. Podemos também dar um valor aproximado para intuição:
\frac{1}{4}-\frac{1}{2\pi}\approx 0{,}0908.
Interpretação rápida e amigável: no estado fundamental a densidade de probabilidade está concentrada mais ao centro do poço, por isso a probabilidade de encontrar a partícula tão perto da borda ( 0 a L/4) é relativamente pequena.

Resposta

E_{n}=\dfrac{n^{2}\pi^{2}\hbar^{2}}{2mL^{2}},\; n=1,2,3,\ldots
P\big(0\le x\le L/4\big)=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2\pi}\approx 0{,}0908

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