- Determine
para
e
: o segmento de
a
.
Passo 1
O problema pede calcular a integral de linha
para o campo vetorial
e a curva
. Informações dadas:
e
é o segmento de reta que vai de
até
.
A pergunta é então: qual é o valor numérico de ?
A pergunta é então: qual é o valor numérico de
Passo 2
Vamos parameterizar o segmento de reta
. Um segmento entre os pontos
e
pode ser descrito por interpolação linear. Sejam os pontos
e
. Uma parameterização natural é
com
variando em
. Aqui
é o vetor de posição ao longo da curva e o parâmetro
indica a posição entre os extremos:
em
e
em
.
Passo 3
Calculamos a derivada da parameterização, que representa o vetor tangente à curva:
Significado:
dá a velocidade ao percorrer a curva conforme
varia.
Passo 4
Substituímos a parameterização na função
para obter
ao longo da curva:
Explanação: basta trocar
,
,
em
.
Passo 5
A integral de linha de um campo vetorial definida por
pode ser calculada pela fórmula de parâmetro:
onde
é a parameterização com
. Aqui
e
. Agora fazemos o produto escalar (dot product). Para vetores
e
vale
. Aplicando:
Passo 6
Agora montamos a integral escalar a ser calculada:
Explicação: reduzimos a integral de linha a uma integral usual de uma função escalar de
.
Passo 7
Calculamos a integral:
Detalhe: antiderivada de
é
.