1. Determine \int C F \cdot d r para F(x, y, z)=(2 x, 0,0) e C : o segmento de (0,0,0) a (1,1,1).

Passo 1

O problema pede calcular a integral de linha \int_C F\cdot d r para o campo vetorial F e a curva C. Informações dadas:
F(x,y,z) = (2x,0,0),
e C é o segmento de reta que vai de (0,0,0) até (1,1,1).
A pergunta é então: qual é o valor numérico de \displaystyle \int_C F\cdot d r?

Passo 2

Vamos parameterizar o segmento de reta C. Um segmento entre os pontos (0,0,0) e (1,1,1) pode ser descrito por interpolação linear. Sejam os pontos A=(0,0,0) e B=(1,1,1). Uma parameterização natural é
\mathbf{r}(t) = (1-t)A + tB = (1-t)(0,0,0) + t(1,1,1) = (t,t,t),
com t variando em [0,1]. Aqui \mathbf{r}(t) é o vetor de posição ao longo da curva e o parâmetro t indica a posição entre os extremos: t=0 em A e t=1 em B.

Passo 3

Calculamos a derivada da parameterização, que representa o vetor tangente à curva:
\mathbf{r}'(t) = \frac{d}{dt}(t,t,t) = (1,1,1).
Significado: \mathbf{r}'(t) dá a velocidade ao percorrer a curva conforme t varia.

Passo 4

Substituímos a parameterização na função F para obter F ao longo da curva:
F(\mathbf{r}(t)) = F(t,t,t) = (2t,0,0).
Explanação: basta trocar x=t, y=t, z=t em F(x,y,z).

Passo 5

A integral de linha de um campo vetorial definida por \int_C F\cdot d r pode ser calculada pela fórmula de parâmetro:
\int_C F\cdot d r = \int_{a}^{b} F(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t)\,dt,
onde \mathbf{r}(t) é a parameterização com t\in[a,b]. Aqui a=0 e b=1. Agora fazemos o produto escalar (dot product). Para vetores (a,b,c) e (d,e,f) vale (a,b,c)\cdot(d,e,f)=ad+be+cf. Aplicando:
F(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t) = (2t,0,0)\cdot(1,1,1) = 2t\cdot 1 + 0\cdot 1 + 0\cdot 1 = 2t.

Passo 6

Agora montamos a integral escalar a ser calculada:
\int_C F\cdot d r = \int_{0}^{1} 2t\,dt.
Explicação: reduzimos a integral de linha a uma integral usual de uma função escalar de t.

Passo 7

Calculamos a integral:
\int_{0}^{1} 2t\,dt = \left[t^2\right]_{0}^{1} = 1^2 - 0^2 = 1.
Detalhe: antiderivada de 2t é t^2.

Resposta

\displaystyle 1

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