(Trabalho em 3D) Uma partícula move-se do ponto
até
sob a ação do campo
. Calcule o trabalho realizado pelo campo ao longo da reta que une esses pontos.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede um único valor:
- Ponto inicial:
. - Ponto final:
. - Campo vetorial:
. - O caminho é a reta que une
a .
O que se pede: calcular o trabalho realizado pelo campo
ao longo dessa reta (ou seja, o integral de linha de
ao longo do segmento).
Passo 2
Ideia e fórmula que vamos usar (explicação didática):
- Trabalho de um campo vetorial ao longo de uma curva
é definido por
Aqui
é o campo (vetor função) e
é o vetor diferencial ao longo da curva. A notação
significa produto escalar ponto a ponto entre
e o elemento tangente
.
- Para calcular esse integral na prática, parametrizamos a curva por
, com variando em um intervalo . Então a integral de linha vira
Explicando as variáveis:
dá as coordenadas ao longo da curva;
é a derivada (vetor velocidade);
é o campo avaliado nesses pontos; o produto escalar devolve uma função escalar que integramos em
.
Passo 3
Parametrização da reta que liga
a
(explicação passo a passo):
- Uma forma padrão de parametrizar o segmento de reta de um ponto
a é
que gera
e
.
- Aplicando aqui com
e , obtemos a parametrização simples
Isso significa
,
,
.
Passo 4
Calcular
e
:
- Derivando componente a componente:
- O elemento diferencial é
.
Passo 5
Avaliar o campo
ao longo da curva (substituir
):
- Como
e , temos
Comentário: peguei essas igualdades diretamente da parametrização
.
Passo 6
Calcular o produto escalar
(explicando o produto escalar):
- Produto escalar entre dois vetores
e é . - Aqui
Passo 7
Montar e calcular a integral de linha (passo a passo da integração):
- Pelo passo 2, o trabalho é
- Integrando
: a primitiva de é , então a primitiva de é . - Portanto
Passo 8
Breve observação alternativa (útil na prova): o campo
é gradiente de uma função escalar
- Note que
com , porque
- Pelo teorema fundamental sobre campos gradiente, o trabalho entre dois pontos depende só dos valores de
nas extremidades:
- Aplicando
e dá trabalho , mesmo resultado que obtivemos pela parametrização. Isso é uma checagem rápida e muito útil na prova.