(Trabalho em 3D) Uma partícula move-se do ponto (0,0,0) até (1,1,1) sob a ação do campo \mathrm{F}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=(\mathrm{yz}, \mathrm{xz}, \mathrm{xy}). Calcule o trabalho realizado pelo campo ao longo da reta que une esses pontos.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede um único valor:
  • Ponto inicial: (0,0,0).
  • Ponto final: (1,1,1).
  • Campo vetorial: \mathrm{F}(x,y,z)=(yz,\; xz,\; xy).
  • O caminho é a reta que une (0,0,0) a (1,1,1).
O que se pede: calcular o trabalho realizado pelo campo \mathrm{F} ao longo dessa reta (ou seja, o integral de linha de \mathrm{F} ao longo do segmento).

Passo 2

Ideia e fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • Trabalho de um campo vetorial ao longo de uma curva \mathcal{C} é definido por
\text{Trabalho}=\int_{\mathcal{C}}\mathrm{F}\cdot d\mathbf{r}.
Aqui \mathrm{F} é o campo (vetor função) e d\mathbf{r} é o vetor diferencial ao longo da curva. A notação \mathrm{F}\cdot d\mathbf{r} significa produto escalar ponto a ponto entre \mathrm{F} e o elemento tangente d\mathbf{r}.
  • Para calcular esse integral na prática, parametrizamos a curva por \mathbf{r}(t), com t variando em um intervalo [a,b]. Então a integral de linha vira
\int_{\mathcal{C}}\mathrm{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{a}^{b}\mathrm{F}(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t)\,dt.
Explicando as variáveis: \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t),z(t)) dá as coordenadas ao longo da curva; \mathbf{r}'(t) é a derivada (vetor velocidade); \mathrm{F}(\mathbf{r}(t)) é o campo avaliado nesses pontos; o produto escalar devolve uma função escalar que integramos em t.

Passo 3

Parametrização da reta que liga (0,0,0) a (1,1,1) (explicação passo a passo):
  • Uma forma padrão de parametrizar o segmento de reta de um ponto A=(x_0,y_0,z_0) a B=(x_1,y_1,z_1) é
\mathbf{r}(t)=(1-t)A + tB,\quad t\in[0,1],
que gera \mathbf{r}(0)=A e \mathbf{r}(1)=B.
  • Aplicando aqui com A=(0,0,0) e B=(1,1,1), obtemos a parametrização simples
\mathbf{r}(t)=(t,t,t),\quad t\in[0,1].
Isso significa x(t)=t, y(t)=t, z(t)=t.

Passo 4

Calcular \mathbf{r}'(t) e d\mathbf{r}:
  • Derivando componente a componente:
\mathbf{r}'(t)=(1,1,1).
  • O elemento diferencial é d\mathbf{r}=\mathbf{r}'(t)\,dt=(1,1,1)\,dt.

Passo 5

Avaliar o campo \mathrm{F} ao longo da curva (substituir x(t),y(t),z(t)):
  • Como \mathrm{F}(x,y,z)=(yz,\; xz,\; xy) e x(t)=y(t)=z(t)=t, temos
\mathrm{F}(\mathbf{r}(t))=(t\cdot t,\; t\cdot t,\; t\cdot t)=(t^{2},\; t^{2},\; t^{2}).
Comentário: peguei essas igualdades diretamente da parametrização \mathbf{r}(t)=(t,t,t).

Passo 6

Calcular o produto escalar \mathrm{F}(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t) (explicando o produto escalar):
  • Produto escalar entre dois vetores (a,b,c) e (u,v,w) é a u + b v + c w.
  • Aqui
\mathrm{F}(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t)= (t^{2},t^{2},t^{2})\cdot(1,1,1)=t^{2}\cdot1+t^{2}\cdot1+t^{2}\cdot1=3t^{2}.

Passo 7

Montar e calcular a integral de linha (passo a passo da integração):
  • Pelo passo 2, o trabalho é
\int_{0}^{1}\mathrm{F}(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t)\,dt=\int_{0}^{1}3t^{2}\,dt.
  • Integrando 3t^{2}: a primitiva de t^{2} é t^{3}/3, então a primitiva de 3t^{2} é 3\cdot t^{3}/3 = t^{3}.
  • Portanto
\int_{0}^{1}3t^{2}\,dt=\bigl[t^{3}\bigr]_{0}^{1}=1^{3}-0^{3}=1.

Passo 8

Breve observação alternativa (útil na prova): o campo \mathrm{F} é gradiente de uma função escalar
  • Note que \mathrm{F}=\nabla f com f(x,y,z)=xyz, porque
\nabla f=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\right)=(yz,\; xz,\; xy)=\mathrm{F}.
  • Pelo teorema fundamental sobre campos gradiente, o trabalho entre dois pontos depende só dos valores de f nas extremidades:
\int_{\mathcal{C}}\nabla f\cdot d\mathbf{r}=f(B)-f(A).
  • Aplicando f(1,1,1)=1 e f(0,0,0)=0 dá trabalho 1-0=1, mesmo resultado que obtivemos pela parametrização. Isso é uma checagem rápida e muito útil na prova.

Resposta

\;1

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