c) \mathrm{T}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \mathrm{~T}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=(x-2 y+3 z, 2 x+y-z, 3 x-y+4 z)
d) \mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \mathrm{~T}(\mathrm{r}, \theta)=\left(\frac{\mathrm{r}}{2}, \theta\right), onde (r, \theta ) são as coordenadas polares de ( x, y ), e T(0)=0
e) Para uma das transformações lineares acima, determine núcleo, imagem, nulidade e ordem. Esta transformação linear é bijetora?
7. a) Defina transformação linear e núcleo de transformação linear.
Determine se as transformações, abaixo, são transformações lineares.
b) \mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \mathrm{~T}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=(\mathrm{x}-\mathrm{y}+\mathrm{z}, 3 \mathrm{x}+2 \mathrm{y}-\mathrm{z})

Passo 1

O enunciado traz várias partes. Vou listar explicitamente o que é dado e o que é pedido, para não nos perdermos.
  • Item (c): Está dada a transformação \mathrm{T}:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} definida por
\mathrm{T}(x,y,z) = (x-2y+3z,\;2x+y-z,\;3x-y+4z).
Pergunta implícita: verificar se é linear (se necessário) e usar essa transformação em (e).
  • Item (d): Está dada a transformação \mathrm{T}:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} descrita em coordenadas polares: para um ponto com coordenadas polares (r,\theta),
\mathrm{T}(r,\theta)=\left(\tfrac{r}{2},\theta\right),
e foi dada a especificação \mathrm{T}(0)=0 (porque em r=0 \theta é indefinido). Pergunta: analisar se isto é transformação linear.
  • Item (e): Para “uma das transformações lineares acima”, determinar núcleo, imagem, nulidade e ordem (interpreto “ordem” como posto / rank). Dizer também se essa transformação é bijetora. Vou escolher uma das transformações lineares (escolherei a do item (c), que é interessante porque é entre espaços de mesma dimensão).
  • Questão 7.a): Pedem definição de transformação linear e definição de núcleo (núcleo = kernel).
  • Questão 7.b): É dada uma transformação com aparente inconsistência textual: o enunciado diz \mathrm{T}:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2}, mas a fórmula usa três coordenadas: \mathrm{T}(x,y,z)=(x-y+z,\;3x+2y-z). Como há uma incompatibilidade entre domínio declarado ( \mathbb{R}^{2}) e a fórmula (que aceita (x,y,z)), assumirei — por coerência com a fórmula — que o domínio correto é \mathbb{R}^{3}, isto é \mathrm{T}:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2}, e vou verificar se essa transformação é linear.
Observações: Não vou pedir nada a você — usei a suposição acima para 7.b) porque o enunciado está inconsistente. Se sua prova tiver outra versão, adapte mentalmente mudando domínio conforme o item verdadeiro.

Passo 2

Conceitos fundamentais (aula rápida e direta, sem pular etapas).
  • Definição: Uma aplicação T entre espaços vetoriais sobre o mesmo corpo (aqui reais) é linear se, para quaisquer vetores u,v e qualquer escalar \alpha, as duas propriedades valem:
\text{(aditividade)}\quad T(u+v)=T(u)+T(v),
\text{(homogeneidade)}\quad T(\alpha u)=\alpha\,T(u).
Essas duas propriedades juntas são a definição padrão de linearidade. Uma forma equivalente e prática: se T pode ser representada por multiplicação por uma matriz A (isto é, T(v)=A v no sistema de coordenadas padrão), então T é linear — porque multiplicação matricial preserva soma e multiplicação por escalar.
  • Núcleo (kernel): Para uma transformação linear T:V\to W, o núcleo é o conjunto de vetores em V que vão para o vetor zero em W:
\ker(T)=\{v\in V \mid T(v)=0\}.
O núcleo é um subespaço de V. A nulidade ( \operatorname{nul}(T)) é a dimensão do núcleo.
  • Imagem (range): \operatorname{Im}(T)=\{T(v)\mid v\in V\}, também é um subespaço de W. O posto (rank, que aqui o enunciado chamou de “ordem”) é a dimensão da imagem. Teorema fundamental da álgebra linear (teorema do posto-nulidade) para T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m:
\dim(\ker T)+\dim(\operatorname{Im} T)=n.
Isto é útil para checar cálculos.

Passo 3

Analisando o item (c): escrever em forma matricial e verificar linearidade (passo didático).
  • Primeiro, escrevo T como multiplicação por matriz. Se (x,y,z) é visto como vetor coluna, então
\mathrm{T}(x,y,z)= \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3\\[4pt] 2 & 1 & -1\\[4pt] 3 & -1 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}.
Denoto essa matriz por A. Explicação: cada coordenada de T(x,y,z) é uma combinação linear das coordenadas x,y,z com coeficientes que formam as linhas de A.
  • Como T é dada por T(v)=A v com A fixa, segue imediatamente das propriedades da multiplicação matricial que T satisfaz aditividade e homogeneidade. Logo T é linear. (Se você não lembrava, pense: A(u+v)=Au+Av e A(\alpha u)=\alpha A u.)]

Passo 4

Determinar núcleo e imagem de [T) do item (c) (resolvendo o sistema A[x,y,z]^T=0 passo-a-passo) e depois nulidade e posto. Também decidir bijetividade.
  • Escrever o sistema homogêneo \;A\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}. Isso dá o sistema:
\begin{cases} x-2y+3z=0,\\[4pt] 2x+y-z=0,\\[4pt] 3x-y+4z=0. \end{cases}
Vou resolver por eliminação gaussiana de forma bem explicada.
  • Montamos a matriz aumentada (mas é homogênea, então sem coluna de constantes):
\left[\begin{array}{ccc} 1 & -2 & 3\\[4pt] 2 & 1 & -1\\[4pt] 3 & -1 & 4 \end{array}\right].
Operações (explicando cada passo):
  1. Subtraio 2\] vezes a primeira linha da segunda linha: \(L_2\leftarrow L_2-2L_1.
    • Segunda linha original (2,1,-1) menos 2\cdot(1,-2,3)=(2,-4,6) (0,5,-7).
  2. Subtraio 3 vezes a primeira linha da terceira linha: L_3\leftarrow L_3-3L_1.
    • Terceira (3,-1,4) menos 3\cdot(1,-2,3)=(3,-6,9) (0,5,-5).
Nova forma:
\left[\begin{array}{ccc} 1 & -2 & 3\\[4pt] 0 & 5 & -7\\[4pt] 0 & 5 & -5 \end{array}\right].
  1. Subtraio a segunda linha da terceira: L_3\leftarrow L_3-L_2.
    • (0,5,-5)-(0,5,-7)=(0,0,2).
Agora a matriz está
\left[\begin{array}{ccc} 1 & -2 & 3\\[4pt] 0 & 5 & -7\\[4pt] 0 & 0 & 2 \end{array}\right].
Isto é triangular superior; podemos fazer substituição regressiva para encontrar variáveis.
Da terceira linha: 2z=0\Rightarrow z=0.
Da segunda linha: 5y-7z=0\Rightarrow 5y-7\cdot 0=0\Rightarrow y=0.
Da primeira linha: x-2y+3z=0\Rightarrow x-0+0=0\Rightarrow x=0.
  • Conclusão: a única solução é x=y=z=0. Portanto
\ker(T)=\{(0,0,0)\}.
Isto implica que a nulidade é
\operatorname{nul}(T)=\dim(\ker T)=0.
  • Pelo teorema do posto-nulidade para um operador de \mathbb{R}^3 em \mathbb{R}^3,
\operatorname{nul}(T)+\operatorname{rank}(T)=3,
logo \operatorname{rank}(T)=3. Ou, dito de outra forma, as três linhas (ou colunas) da matriz A são linearmente independentes e geram \mathbb{R}^3, então
\operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^3.
  • Como o núcleo é apenas o vetor zero e a imagem é todo \mathbb{R}^3, T é inversível (há inversa linear), portanto é bijetora.
  • Como checagem adicional, podemos calcular o determinante de A para confirmar invertibilidade. Computei
\det(A)=10\neq 0,
o que confirma que A é invertível, corroborando \ker(T)=\{0\}, \operatorname{rank}(T)=3 e bijetividade.]

Passo 5

Analisando o item (d): a transformação em coordenadas polares.
  • Lembrete: coordenadas polares e coordenadas cartesianas estão relacionadas por
x = r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta.
O enunciado define T em polares por (r,\theta)\mapsto\big(\tfrac r2,\theta\big). Vamos transformar isso para coordenadas cartesianas para ver se a aplicação é linear como mapa sobre \mathbb{R}^2.
  • Se (x,y)=(r\cos\theta,r\sin\theta), então após aplicar T obtemos (r/2,\theta) que em cartesianas vale
x'=\tfrac{r}{2}\cos\theta=\tfrac{1}{2}(r\cos\theta)=\tfrac{1}{2}x,
y'=\tfrac{r}{2}\sin\theta=\tfrac{1}{2}(r\sin\theta)=\tfrac{1}{2}y.
Portanto, em coordenadas cartesianas T age como
T(x,y)=\left(\tfrac{x}{2},\tfrac{y}{2}\right).
  • Essa é simplesmente multiplicação por escalar \tfrac12, i.e. T(v)=\tfrac12 v. A operação v\mapsto\lambda v é linear para qualquer escalar \lambda. Então T é linear. (Observação técnica: a polaridade do ângulo em r=0 é irrelevante porque o enunciado já definiu T(0)=0.)
  • Matriz associada em base canônica é \tfrac12 I_2, onde I_2 é a matriz identidade 2\times2.
  • Consequências: \ker(T)=\{0\}, \operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^2, nulidade 0, posto 2, e T é bijetora (inversa é multiplicar por 2).

Passo 6

Questão 7.a) (definições pedidas) — vou repassar de forma bem clara e com exemplo curtinho.
  • Transformação linear: seja V e W espaços vetoriais sobre \mathbb{R}. Uma aplicação T:V\to W é linear se, para todos u,v\in V e todo \alpha\in\mathbb{R},
T(u+v)=T(u)+T(v)\quad\text{e}\quad T(\alpha u)=\alpha T(u).
Exemplo simples: T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 dada por T(x,y)=(2x,3y) é linear porque cada coordenada é combinação linear das coordenadas de entrada.
  • Núcleo: para T:V\to W linear, o núcleo é \ker(T)=\{v\in V\mid T(v)=0\}. É sempre um subespaço de V. Exemplo: para T(x,y)=(2x,3y), \ker(T)=\{(0,0)\} porque só o vetor nulo vai para zero.

Passo 7

Questão 7.b) (verificar linearidade da transformação dada). Lembrete: estou assumindo domínio \mathbb{R}^3 por causa da fórmula.
  • A transformação (assumida) é \mathrm{T}:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2} com
\mathrm{T}(x,y,z) = (x-y+z,\;3x+2y-z).
Cada coordenada saída é uma combinação linear das coordenadas de entrada (coeficientes fixos). Logo pode ser escrita por multiplicação por matriz B:
B=\begin{pmatrix}1 & -1 & 1\\[4pt]3 & 2 & -1\end{pmatrix},\qquad T(v)=Bv.
Como é representável por uma matriz fixa, T satisfaz aditividade e homogeneidade. Portanto T é linear.
  • Observação: se no seu enunciado o domínio realmente fosse \mathbb{R}^2, haveria erro na fórmula; mas pela expressão com (x,y,z) concluí que o domínio correto é \mathbb{R}^3.]

Resposta

c) \text{Linear (sim).}
d) \text{Linear (sim), e em coordenadas cartesianas }T(x,y)=(\tfrac{x}{2},\tfrac{y}{2}).
e) (escolhi a transformação do item (c)): \ker(T)=\{(0,0,0)\}. \operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^{3}. \operatorname{nul}(T)=0. \operatorname{ordem\\ (posto)}=3. A transformação é bijetora: \text{Sim}.
7.a) Transformação linear: T:V\to W tal que T(u+v)=T(u)+T(v) e T(\alpha u)=\alpha T(u) para todo u,v\in V,\;\alpha\in\mathbb{R}. Núcleo: \ker(T)=\{v\in V\mid T(v)=0\}.
7.b) (assumindo domínio \mathbb{R}^{3} compatível com a fórmula) \mathrm{T}(x,y,z)=(x-y+z,\;3x+2y-z) é linear.

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