- a) Defina auto-espaço associado a um autovalor e multiplicidade geométrica de um autovalor.
b) Determine uma transformação linear
com auto-espaços
(autovalor 3) e
(autovalor 5). Apresente a matriz
que representa esta transformação linear com respeito à base canônica na base de
.
c) Existe base de autovetores para o
? Caso exista, obtenha a matriz
de base de autovetores para a base canônica.
d) Calcule a matriz inversa de
e mostre que
. é diagonal com os autovalores na diagonal principal.
b) Determine uma transformação linear
c) Existe base de autovetores para o
d) Calcule a matriz inversa de
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas:
-
Dados:
- O autoespaço associado ao autovalor
é . - O autoespaço associado ao autovalor
é .
- O autoespaço associado ao autovalor
-
Perguntas:
a) Definir o que é auto-espaço associado a um autovalor e o que é multiplicidade geométrica de um autovalor.
b) Construir uma transformação linearque tenha exatamente esses auto-espaços e apresentar sua matriz na base canônica.
c) Dizer se existe base de autovetores dee, se existir, obter a matriz cujas colunas são esses autovetores (a matriz de passagem da base de autovetores para a base canônica).
d) Calculare mostrar que é diagonal com os autovalores na diagonal principal.
Passo 2
(a) Definições (explicadas passo a passo, como numa aulinha rápida)
- Auto-espaço associado a um autovalor: seja
linear e (autovalor). O auto-espaço associado a é o conjunto de vetores tais que , junto com o vetor zero. Em notação:
É um subespaço vetorial de
. Intuição: são os vetores que só são “esticados” por
, sem mudar de direção (podem inverter sentido se
).
- Multiplicidade geométrica de um autovalor: é a dimensão do auto-espaço
. Ou seja, quantos vetores linearmente independentes existem como autovetores associados a . Ex.: se é gerado por um único vetor não-nulo, a multiplicidade geométrica é .
(Comentário de amigo: pense que autovalor é o fator de alongamento e auto-espaço diz quais vetores são só alongados; a multiplicidade geométrica conta quantas direções independentes assim existem.)
Passo 3
(b) Construção de
e da matriz
- Escolher autovetores representativos de cada auto-espaço. Uma escolha natural:
pois
tem forma
com
e
tem forma
com
.
- Verificar que
e são linearmente independentes: calcule o determinante da matriz cujas colunas são e :
Como o determinante é não-nulo,
e
formam uma base de
.
- Definir
pelos autovalores em relação a esses vetores:
Essas duas equações definem linearmente
em toda
porque
formam base.
- Para obter a matriz
de na base canônica, monto a matriz cujas colunas são os autovetores escolhidos e a matriz diagonal com os autovalores:
A relação entre
,
e
é
Agora vamos calcular isso passo a passo (sem pular contas).]
Passo 4
Cálculo de
(fórmula para
e aplicação)
- Fórmula: para
com ,
- Aplicando a
:
Então
Vou checar rapidamente a multiplicação
para garantir que está correta:
Tudo certo.]
Passo 5
Cálculo explícito de
- Primeiro
:
- Agora
:
Faço as multiplicações linha por coluna:
- Entrada
:
- Entrada
:
- Entrada
:
- Entrada
:
Portanto
- Verificação rápida (pra ficar seguro): aplicar
em e .
-
(funciona). -
(funciona).
Logo
é a matriz buscada.]
Passo 6
(c) Existe base de autovetores? Obtenção de
Sim, existe uma base de autovetores: como
e
são autovetores pertencentes a autoespaços distintos e são linearmente independentes, eles formam uma base de
. Portanto
é diagonalizável e a matriz cujas colunas são esses autovetores é
Essa é a matriz de mudança de base da base formada por
para a base canônica.]
Passo 7
(d) Cálculo de
e demonstração que
é diagonal
- Já calculamos
- Identidade algébrica: como
, multiplicando à esquerda por e à direita por obtemos
Logo
ou seja, uma matriz diagonal com os autovalores
e
na diagonal principal.
(Se quiser confirmar numericamente, pode multiplicar explicitamente
e verá que as entradas não-diagonais cancelam e aparecem
e
na diagonal.)]
Resposta
(a) O auto-espaço associado a um autovalor
é
. A multiplicidade geométrica de
é
.
(b)
.
(c) Sim; uma base de autovetores é
e a matriz
com essas colunas é
.
(d)
e
.]