1. a) Defina auto-espaço associado a um autovalor e multiplicidade geométrica de um autovalor.
    b) Determine uma transformação linear \mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} com auto-espaços E_{3}=\{(t, 4 t) \mid t \in \mathbb{R}\} (autovalor 3) e E_{5}=\{(t,-t) \mid t \in \mathbb{R}\} (autovalor 5). Apresente a matriz A que representa esta transformação linear com respeito à base canônica na base de \mathbb{R}^{2}.
    c) Existe base de autovetores para o \mathbb{R}^{2} ? Caso exista, obtenha a matriz P de base de autovetores para a base canônica.
    d) Calcule a matriz inversa de P e mostre que P^{-1} \cdot A \cdot P. é diagonal com os autovalores na diagonal principal.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas:
  • Dados:
    • O autoespaço associado ao autovalor 3 é E_{3}=\{(t,4t)\mid t\in\mathbb{R}\}.
    • O autoespaço associado ao autovalor 5 é E_{5}=\{(t,-t)\mid t\in\mathbb{R}\}.
  • Perguntas:
    a) Definir o que é auto-espaço associado a um autovalor e o que é multiplicidade geométrica de um autovalor.
    b) Construir uma transformação linear \mathrm{T}:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 que tenha exatamente esses auto-espaços e apresentar sua matriz A na base canônica.
    c) Dizer se existe base de autovetores de \mathbb{R}^2 e, se existir, obter a matriz P cujas colunas são esses autovetores (a matriz de passagem da base de autovetores para a base canônica).
    d) Calcular P^{-1} e mostrar que P^{-1} A P é diagonal com os autovalores na diagonal principal.

Passo 2

(a) Definições (explicadas passo a passo, como numa aulinha rápida)
  • Auto-espaço associado a um autovalor: seja T:V\to V linear e \lambda\in\mathbb{R} (autovalor). O auto-espaço associado a \lambda é o conjunto de vetores v\in V tais que T(v)=\lambda v, junto com o vetor zero. Em notação:
E_{\lambda}=\{v\in V\mid T(v)=\lambda v\}.
É um subespaço vetorial de V. Intuição: são os vetores que só são “esticados” por T, sem mudar de direção (podem inverter sentido se \lambda<0).
  • Multiplicidade geométrica de um autovalor: é a dimensão do auto-espaço E_{\lambda}. Ou seja, quantos vetores linearmente independentes existem como autovetores associados a \lambda. Ex.: se E_{\lambda} é gerado por um único vetor não-nulo, a multiplicidade geométrica é 1.
(Comentário de amigo: pense que autovalor é o fator de alongamento e auto-espaço diz quais vetores são só alongados; a multiplicidade geométrica conta quantas direções independentes assim existem.)

Passo 3

(b) Construção de T e da matriz A
  1. Escolher autovetores representativos de cada auto-espaço. Uma escolha natural:
v_1=(1,4)\in E_3\quad\text{e}\quad v_2=(1,-1)\in E_5,
pois v_1 tem forma (t,4t) com t=1 e v_2 tem forma (t,-t) com t=1.
  1. Verificar que v_1 e v_2 são linearmente independentes: calcule o determinante da matriz cujas colunas são v_1 e v_2:
\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]4 & -1\end{pmatrix}=1\cdot(-1)-4\cdot1=-1-4=-5\neq 0.
Como o determinante é não-nulo, v_1 e v_2 formam uma base de \mathbb{R}^2.
  1. Definir T pelos autovalores em relação a esses vetores:
T(v_1)=3v_1,\qquad T(v_2)=5v_2.
Essas duas equações definem linearmente T em toda \mathbb{R}^2 porque v_1,v_2 formam base.
  1. Para obter a matriz A de T na base canônica, monto a matriz P cujas colunas são os autovetores escolhidos e a matriz diagonal D com os autovalores:
P=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]4 & -1\end{pmatrix},\qquad D=\begin{pmatrix}3 & 0\\[4pt]0 & 5\end{pmatrix}.
A relação entre A, P e D é
A = P\,D\,P^{-1}.
Agora vamos calcular isso passo a passo (sem pular contas).]

Passo 4

Cálculo de P^{-1} (fórmula para 2\times2 e aplicação)
  • Fórmula: para M=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt]c & d\end{pmatrix} com \det(M)=ad-bc\neq 0,
M^{-1}=\dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d & -b\\[4pt]-c & a\end{pmatrix}.
  • Aplicando a P=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]4 & -1\end{pmatrix}:
\det(P)=1\cdot(-1)-4\cdot1=-5.
Então
P^{-1}=\dfrac{1}{-5}\begin{pmatrix}-1 & -1\\[4pt]-4 & 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1/5 & 1/5\\[4pt]4/5 & -1/5\end{pmatrix}.
Vou checar rapidamente a multiplicação P\cdot P^{-1} para garantir que está correta:
\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]4 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1/5 & 1/5\\[4pt]4/5 & -1/5\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}.
Tudo certo.]

Passo 5

Cálculo explícito de A=PDP^{-1}
  1. Primeiro P\!D:
P D=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]4 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}3 & 0\\[4pt]0 & 5\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3 & 5\\[4pt]12 & -5\end{pmatrix}.
  1. Agora A=(P D)P^{-1}:
A=\begin{pmatrix}3 & 5\\[4pt]12 & -5\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1/5 & 1/5\\[4pt]4/5 & -1/5\end{pmatrix}.
Faço as multiplicações linha por coluna:
  • Entrada (1,1):
3\cdot\frac{1}{5}+5\cdot\frac{4}{5}=\frac{3}{5}+\frac{20}{5}=\frac{23}{5}.
  • Entrada (1,2):
3\cdot\frac{1}{5}+5\cdot\left(-\frac{1}{5}\right)=\frac{3}{5}-\frac{5}{5}=-\frac{2}{5}.
  • Entrada (2,1):
12\cdot\frac{1}{5}+(-5)\cdot\frac{4}{5}=\frac{12}{5}-\frac{20}{5}=-\frac{8}{5}.
  • Entrada (2,2):
12\cdot\frac{1}{5}+(-5)\cdot\left(-\frac{1}{5}\right)=\frac{12}{5}+\frac{5}{5}=\frac{17}{5}.
Portanto
A=\begin{pmatrix}23/5 & -2/5\\[4pt]-8/5 & 17/5\end{pmatrix} =\frac{1}{5}\begin{pmatrix}23 & -2\\[4pt]-8 & 17\end{pmatrix}.
  1. Verificação rápida (pra ficar seguro): aplicar A em v_1 e v_2.
  • A v_1 = A(1,4)^\top = (3,12)^\top = 3(1,4)^\top (funciona).
  • A v_2 = A(1,-1)^\top = (5,-5)^\top = 5(1,-1)^\top (funciona).
Logo A é a matriz buscada.]

Passo 6

(c) Existe base de autovetores? Obtenção de P
Sim, existe uma base de autovetores: como v_1 e v_2 são autovetores pertencentes a autoespaços distintos e são linearmente independentes, eles formam uma base de \mathbb{R}^2. Portanto T é diagonalizável e a matriz cujas colunas são esses autovetores é
P=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]4 & -1\end{pmatrix}.
Essa é a matriz de mudança de base da base formada por \{v_1,v_2\} para a base canônica.]

Passo 7

(d) Cálculo de P^{-1} e demonstração que P^{-1}AP é diagonal
  1. Já calculamos
P^{-1}=\begin{pmatrix}1/5 & 1/5\\[4pt]4/5 & -1/5\end{pmatrix}.
  1. Identidade algébrica: como A=P D P^{-1}, multiplicando à esquerda por P^{-1} e à direita por P obtemos
P^{-1} A P = P^{-1} (P D P^{-1}) P = (P^{-1}P) D (P^{-1}P)=I\cdot D \cdot I = D.
Logo
P^{-1} A P = \begin{pmatrix}3 & 0\\[4pt]0 & 5\end{pmatrix},
ou seja, uma matriz diagonal com os autovalores 3 e 5 na diagonal principal.
(Se quiser confirmar numericamente, pode multiplicar explicitamente P^{-1} A P e verá que as entradas não-diagonais cancelam e aparecem 3 e 5 na diagonal.)]

Resposta

(a) O auto-espaço associado a um autovalor \lambda é E_{\lambda}=\{v\in V\mid T(v)=\lambda v\}. A multiplicidade geométrica de \lambda é \dim(E_{\lambda}).
(b) \displaystyle A=\begin{pmatrix}23/5 & -2/5\\[4pt]-8/5 & 17/5\end{pmatrix}.
(c) Sim; uma base de autovetores é \{(1,4),(1,-1)\} e a matriz P com essas colunas é \displaystyle P=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]4 & -1\end{pmatrix}.
(d) \displaystyle P^{-1}=\begin{pmatrix}1/5 & 1/5\\[4pt]4/5 & -1/5\end{pmatrix} e \displaystyle P^{-1}AP=\begin{pmatrix}3 & 0\\[4pt]0 & 5\end{pmatrix}.]

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