3,0 \mathrm{~mL} de solução com \left[\mathrm{Al}^{3+}\right]=0,020 \mathrm{~mol} / \mathrm{L}. (A) Qual a quantidade de NaOH ( em mmol) deve ser adicionado a esta solução para precipitar 99 \% de \mathrm{Al}^{3+} como \mathrm{Al}(\mathrm{OH})_{3}\left(\mathrm{Kps}=1,3 \times 10^{-33}\right) ? (B) Qual a quantidade total de NaOH necessária para solubilizar 5 \% do precipitado para produzir \left[\mathrm{Al}(\mathrm{OH})_{4}\right]^{-}\left(\mathrm{Kf}=1,1 \times 10^{33}\right).?

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (tudo o que vem a seguir foi extraído do enunciado sem assumir nada a mais):
  • Volume da solução: 3{,}0\\ \mathrm{mL}.
  • Concentração inicial de \mathrm{Al}^{3+}: \left[\mathrm{Al}^{3+}\right]_0 = 0{,}020\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.
  • Produto de solubilidade do hidróxido de alumínio: \mathrm{K_{sp}}(\mathrm{Al(OH)_3}) = 1{,}3\times10^{-33}.
  • Constante de formação do ânion complexo: \mathrm{K_f}(\mathrm{Al(OH)_4^-}) = 1{,}1\times10^{33}.
O que é solicitado:
(A) Quantos mmol de NaOH devem ser adicionados para precipitar 99\% do \mathrm{Al}^{3+} como \mathrm{Al(OH)_3} ?
(B) Qual a quantidade total de NaOH (ou seja, acumulada desde o começo) necessária para, além disso, solubilizar 5\% do precipitado formando \mathrm{[Al(OH)_4]^-} ?
Observações importantes que vou usar depois (sem resolver ainda): relação estequiométrica da precipitação \mathrm{Al^{3+} + 3 OH^- \to Al(OH)_3(s)} e da formação do complexo \mathrm{Al^{3+} + 4 OH^- \to Al(OH)_4^-}. Também vou usar 1\\ \mathrm{mL}=10^{-3}\\ \mathrm{L} e 1\\ \mathrm{mmol}=10^{-3}\\ \mathrm{mol}.

Passo 2

Calcular a quantidade de matéria (mol) inicial de \mathrm{Al}^{3+}.
Volume em litros:
V = 3{,}0\\ \mathrm{mL} = 3{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{L}.
Moles iniciais de \mathrm{Al}^{3+}:
n_{Al,0} = \left[\mathrm{Al}^{3+}\right]_0 \cdot V = 0{,}020\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}\times 3{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{L} = 6{,}0\times10^{-5}\\ \mathrm{mol}.
Converter para mmol (porque o enunciado pede em mmol):
n_{Al,0} = 6{,}0\times10^{-5}\\ \mathrm{mol} = 0{,}060\\ \mathrm{mmol}.
Vou manter também o valor em mol para contas: n_{Al,0}=6{,}0\times10^{-5}\\ \mathrm{mol}.

Passo 3

Determinar quantos mol (e mmol) de \mathrm{Al}^{3+} correspondem a 99\% precipitado e quanto fica em solução.
  • Fração que permanece em solução (1%):
n_{Al,\text{rest}} = 0{,}01\cdot n_{Al,0} = 0{,}01\times6{,}0\times10^{-5}\\ \mathrm{mol} = 6{,}0\times10^{-7}\\ \mathrm{mol}.
  • Fração precipitada:
n_{Al,\text{precip}} = n_{Al,0}-n_{Al,\text{rest}} = 6{,}0\times10^{-5}-6{,}0\times10^{-7} = 5{,}94\times10^{-5}\\ \mathrm{mol}.
Em mmol:
n_{Al,\text{precip}} = 5{,}94\times10^{-5}\\ \mathrm{mol}=0{,}0594\\ \mathrm{mmol}.

Passo 4

Calcular a quantidade de \mathrm{OH^-} (em mol e depois em mmol) consumida estequiometricamente para precipitar 99\% do alumínio.
Reação de precipitação: \mathrm{Al^{3+} + 3\,OH^- \to Al(OH)_3(s)}. Cada mol de \mathrm{Al}^{3+} precipitado consome 3 mol de \mathrm{OH^-}.
Moles de \mathrm{OH^-} consumidos:
n_{OH,\text{cons}} = 3\cdot n_{Al,\text{precip}} = 3\times5{,}94\times10^{-5}\\ \mathrm{mol} = 1{,}782\times10^{-4}\\ \mathrm{mol}.
Em mmol:
n_{OH,\text{cons}} = 1{,}782\times10^{-4}\\ \mathrm{mol} = 0{,}1782\\ \mathrm{mmol}.
Isto é o consumo estequiométrico mínimo. Mas falta verificar se é necessário manter uma concentração residual de \mathrm{OH^-} na solução para que a solubilidade (K_{sp}) permita que fique exatamente 1\% de \mathrm{Al}^{3+} dissolvido: isto é, verificar a contribuição do equilíbrio solubilidade.

Passo 5

Verificação com o K_{sp} (importante para saber se precisamos adicionar mais \mathrm{OH^-} além da estequiometria).
Quando o sólido \mathrm{Al(OH)_3} está presente em equilíbrio com a solução,
K_{sp}=\left[\mathrm{Al^{3+}}\right]\left[\mathrm{OH^-}\right]^3.
Queremos que \left[\mathrm{Al^{3+}}\right] = concentração que corresponde aos 1\% que permanece:
\left[\mathrm{Al^{3+}}\right]_{\text{eq}} = \frac{n_{Al,\text{rest}}}{V} = \frac{6{,}0\times10^{-7}\\ \mathrm{mol}}{3{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{L}} = 2{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.
Isolando \left[\mathrm{OH^-}\right] do K_{sp}:
\left[\mathrm{OH^-}\right] = \left(\frac{K_{sp}}{\left[\mathrm{Al^{3+}}\right]_{\text{eq}}}\right)^{1/3} = \left(\frac{1{,}3\times10^{-33}}{2{,}0\times10^{-4}}\right)^{1/3}.
Calcular:
\frac{1{,}3\times10^{-33}}{2{,}0\times10^{-4}} = 6{,}5\times10^{-30},
\left[\mathrm{OH^-}\right] \approx (6{,}5\times10^{-30})^{1/3}\approx 1{,}87\times10^{-10}\\ \mathrm{M}.
Moles de \mathrm{OH^-} livres correspondentes no volume:
n_{OH,\text{free}} = \left[\mathrm{OH^-}\right]\cdot V \approx 1{,}87\times10^{-10}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}\times3{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{L} \approx 5{,}6\times10^{-13}\\ \mathrm{mol},
que em mmol é 5{,}6\times10^{-10}\\ \mathrm{mmol}, totalmente desprezível comparado com os 0{,}1782\\ \mathrm{mmol} estequiométricos.
Conclusão desta verificação: o termo “OH residual de equilíbrio” é desprezível aqui; a quantidade de NaOH necessária é praticamente a quantidade estequiométrica calculada no passo anterior.

Passo 6

Resposta do item (A): convertir para mmol e dar valor final redondo com algarismos significativos razoáveis.
Do passo 4:
n_{\mathrm{NaOH},A} \approx 0{,}1782\\ \mathrm{mmol}.
Arredondando para três algarismos significativos:
n_{\mathrm{NaOH},A} \approx 0{,}178\\ \mathrm{mmol}.
(Explicação curta: como cada mol de NaOH fornece 1 mol de \mathrm{OH^-}, o número de mmol de NaOH é numericamente igual ao número de mmol de \mathrm{OH^-} calculado.)

Passo 7

Item (B): solubilizar 5\% do precipitado formando \mathrm{Al(OH)_4^-}.
Interpretação prática e estequiométrica (modo direto e habitual em exames):
  • Após precipitar 99\% já existe uma massa de precipitado n_{Al,\text{precip}} = 5{,}94\times10^{-5}\\ \mathrm{mol}.
  • Solubilizar 5\% desse precipitado significa converter
n_{\text{diss}} = 0{,}05\cdot n_{Al,\text{precip}} = 0{,}05\times5{,}94\times10^{-5} = 2{,}97\times10^{-6}\\ \mathrm{mol}
de \mathrm{Al} em forma de \mathrm{Al(OH)_4^-}.
Equação da solubilização (uma forma prática):
\mathrm{Al(OH)_3(s) + OH^- \rightleftharpoons Al(OH)_4^- (aq)}.
Esta equação mostra que cada mol de \mathrm{Al(OH)_3} que se solubiliza para dar \mathrm{Al(OH)_4^-} consome exatamente 1 mol adicional de \mathrm{OH^-}.
Logo o número de mols adicionais de \mathrm{OH^-} necessário é igual a n_{\text{diss}}:
n_{OH,\text{add}} = 2{,}97\times10^{-6}\\ \mathrm{mol} = 0{,}00297\\ \mathrm{mmol}.

Passo 8

Calcular a quantidade total (acumulada desde o início) de NaOH necessária depois de dissolver 5% do precipitado.
Total de \mathrm{OH^-} (mol) requerido:
n_{OH,\text{total}} = n_{OH,\text{cons}} + n_{OH,\text{add}} = 1{,}782\times10^{-4}\\\ +\\\ 2{,}97\times10^{-6} = 1{,}8117\times10^{-4}\\ \mathrm{mol}.
Em mmol:
n_{OH,\text{total}} = 0{,}18117\\ \mathrm{mmol}.
Arredondando para três algarismos significativos:
n_{OH,\text{total}} \approx 0{,}181\\ \mathrm{mmol}.
Breve comentário de consistência (não obrigatório para a resposta final): usando as constantes K_{sp} e K_f pode-se checar que haverá um pequeno equilíbrio entre \mathrm{Al^{3+}}, \mathrm{Al(OH)_4^-} e \mathrm{OH^-}. No caso de dissolver essa pequena fração (5%), os ajustes de \left[\mathrm{OH^-}\right] livres e de \left[\mathrm{Al^{3+}}\right] são muito pequenos em relação às quantidades estequiométricas, então a estimativa estequiométrica acima (1 mol \mathrm{OH^-} por mol de \mathrm{Al(OH)_4^-} formado) é apropriada.

Resposta

(A) 0{,}178\\ \mathrm{mmol}
(B) 0{,}181\\ \mathrm{mmol}

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