Determine \left[\mathrm{Ag}\left(\mathrm{NH}_{3}\right)_{2}{ }^{+}\right]numa solução que inicialmente contém \left[\mathrm{Ag}^{+}\right]=0,10 \mathrm{~mol} / \mathrm{L} e \left[\mathrm{NH}_{3}\right]=0,50 \mathrm{~mol} / \mathrm{L}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dados iniciais:
    • \left[\mathrm{Ag}^{+}\right]_{\text{inicial}}=0,10\\ \mathrm{mol/L}.
    • \left[\mathrm{NH}_{3}\right]_{\text{inicial}}=0,50\\ \mathrm{mol/L}.
  • O que o enunciado pede:
    • Determinar \left[\mathrm{Ag}\left(\mathrm{NH}_{3}\right)_{2}^{+}\right] na solução em equilíbrio.

Passo 2

Escrevendo a reação de complexação e definindo a constante de formação (explicação didática).
  • A reação de formação do complexo é:
\mathrm{Ag}^{+} + 2\,\mathrm{NH}_{3} \rightleftharpoons \mathrm{Ag}\left(\mathrm{NH}_{3}\right)_{2}^{+}.
  • A constante de formação global (constante de estabilidade) para esse equilíbrio, que chamamos de \beta_2, é definida por:
\beta_2 = \frac{\left[\mathrm{Ag}\left(\mathrm{NH}_{3}\right)_{2}^{+}\right]}{\left[\mathrm{Ag}^{+}\right]\left[\mathrm{NH}_{3}\right]^2}.
Explicando: \beta_2 mede o quanto o complexo é favorecido. Quanto maior \beta_2, mais deslocado para a direita está o equilíbrio (mais complexo formado).
  • Observação prática: o enunciado não deu \beta_2. Vou usar um valor típico de literatura para \beta_2 do complexo \mathrm{Ag(NH_3)_2^+}, que é
\beta_2 = 1{,}6\times10^{7}.
Se o professor esperava que usássemos outro valor, o procedimento abaixo é o mesmo — basta substituir a constante.

Passo 3

Montar tabelinha de concentrações e definir a incógnita (explicando cada passo).
  • Seja x a concentração de complexo formada em equilíbrio:
x = \left[\mathrm{Ag}\left(\mathrm{NH}_{3}\right)_{2}^{+}\right]_{\text{eq}}.
  • Concentrações iniciais e em equilíbrio (todo em \mathrm{mol/L}):
    • \left[\mathrm{Ag}^{+}\right]_{\text{inicial}}=0,10 \longrightarrow \left[\mathrm{Ag}^{+}\right]_{\text{eq}} = 0,10 - x.
    • \left[\mathrm{NH}_{3}\right]_{\text{inicial}}=0,50 \longrightarrow \left[\mathrm{NH}_{3}\right]_{\text{eq}} = 0,50 - 2x (porque cada complexo consome 2 NH3).
    • \left[\mathrm{Ag(NH_3)_2^+}\right]_{\text{eq}} = x.

Passo 4

Escrever a expressão de equilíbrio com as quantidades em função de x e discutir a equação a resolver.
  • Substituindo na definição de \beta_2:
\beta_2 = \frac{x}{(0,10 - x)\,(0,50 - 2x)^2}.
  • Essa é uma equação não-linear em x. No entanto, como \beta_2 é muito grande ( 1{,}6\times10^{7}), o equilíbrio está fortemente deslocado para a direita, então esperamos que praticamente todo \mathrm{Ag}^{+} se converta em complexo. Ou seja, x ficará muito próximo de 0,10 e a concentração de \mathrm{Ag}^{+} livre será muito pequena.

Passo 5

Fazer a aproximação controlada e estimar numericamente a concentração do complexo (mostrando o erro).
  • Para quantificar a aproximação, defino o resíduo \varepsilon como a fração de prata que não complexou:
\varepsilon = 0,10 - x = \left[\mathrm{Ag}^{+}\right]_{\text{eq}}.
Então x = 0,10 - \varepsilon e \left[\mathrm{NH}_{3}\right]_{\text{eq}} = 0,50 - 2(0,10 - \varepsilon) = 0,50 - 0,20 + 2\varepsilon = 0,30 + 2\varepsilon.
  • Como \varepsilon será muito pequeno, uma boa aproximação é tomar \left[\mathrm{NH}_{3}\right]_{\text{eq}}\approx 0,30 no denominador dominante. Substituindo na expressão de \beta_2 e isolando \varepsilon:
\beta_2 \approx \frac{0,10}{\varepsilon\,(0,30)^2}.
Logo
\varepsilon \approx \frac{0,10}{\beta_2\,(0,30)^2}.
  • Agora os cálculos passo a passo (tudo em \mathrm{mol/L}):
    • (0,30)^2 = 0,09.
    • \beta_2\,(0,30)^2 = 1{,}6\times10^{7}\times0,09 = 1{,}44\times10^{6}.
    • \varepsilon \approx \dfrac{0,10}{1{,}44\times10^{6}} \approx 6{,}94\times10^{-8}\\ \mathrm{mol/L}.
  • Assim
x = 0,10 - \varepsilon \approx 0,10 - 6{,}94\times10^{-8} \approx 0,09999993\\ \mathrm{mol/L}.
Isso mostra que a diferença para 0,10 é desprezível nas casas decimais dadas.

Passo 6

Interpretação final e verificação simples (pra você confiar no resultado).
  • Resultado prático: praticamente toda a prata inicial complexou, porque \beta_2 é muito grande.
  • Concentrações em equilíbrio aproximadas:
    • \left[\mathrm{Ag}\left(\mathrm{NH}_{3}\right)_{2}^{+}\right]\approx 0,10\\ \mathrm{mol/L}.
    • \left[\mathrm{Ag}^{+}\right]_{\text{eq}}\approx 7\times10^{-8}\\ \mathrm{mol/L} (extremamente pequeno).
    • \left[\mathrm{NH}_{3}\right]_{\text{eq}}\approx 0,30\\ \mathrm{mol/L} (restaram 0,50-2\cdot0,10=0,30).
  • Motivação prática para a prova: quando a constante de formação é muito grande e há excesso moderado de ligante (aqui 0,50 vs 0,20 exigido), é seguro afirmar que quase todo metal forma o complexo e usar a estequiometria direta para obter a concentração do complexo. Se precisar de precisão absoluta, resolver a equação com \beta_2 dá o pequeno ajuste que calculamos.

Resposta

\left[\mathrm{Ag}\left(\mathrm{NH}_{3}\right)_{2}^{+}\right]=0,10\\ \mathrm{mol/L}

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